Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6 và AC = 9. Gọi M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AC = 3NC. Tính tích vô hướng vecto AM . vecto BN. A. 26/3. B. 11/3. C. 35/3. D. 8

B. $\frac{{11}}{3}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có AC = 3NC. Suy ra $AN = \frac{2}{3}AC = 6$ và $\overrightarrow {AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$.

Tam giác ABC có AM là đường trung tuyến.

Suy ra $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AN} - A{B^2} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {AB.AN.\cos \widehat {BAC} - A{B^2} + \frac{2}{3}A{C^2} - AC.AB.\cos \widehat {BAC}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {AN.\frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AC}} - A{B^2} + \frac{2}{3}A{C^2} - \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{2}} \right)$

$= \frac{{26}}{3}$.

Vậy ta chọn phương án A.