Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N
Câu hỏi:
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Trả lời:
Xét tam giác ABD có: AM = BM (gt), AQ = DQ (gt)
⇒ MQ là đường trung bình của tam giác ABD
⇒ MQ // BD và MQ = \(\frac{1}{2}\)BD (1)
Chứng minh tương tự với tam giác CBD ta có: NP // BD và NP = \(\frac{1}{2}\)BD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MQ // NP và MQ = NP
⇒ MNPQ là hình bình hành (3)
Xét tam giác ABC ta có: AM=BM (gt), BN = CN (gt)
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC
⇒ MN // AC
Mà AC ⊥ BD (gt)
⇒ MN ⊥ BD
Mà NP // BD (cmt)
⇒ MN ⊥ NP (4)
Từ (3) và (4) ⇒ MNPQ là hình chữ nhật.
