Giải phương trình: căn bậc hai (3x - 2) - căn bậc hai (x + 1) = 2x^2
Câu hỏi:
Giải phương trình: \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} - x - 3\).
Trả lời:
ĐK: \(x \ge \frac{3}{2}\).
\(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} - x - 3\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {3x - 2} \right) - \left( {x + 1} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = \left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right) = 1\end{array} \right.\) (*)
Mà với \(x \ge \frac{3}{2}\) thì
\(\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right) \ge \left( {\frac{3}{2} + 1} \right)\left( {\sqrt {3\,.\,\frac{3}{2} - 2} + \sqrt {\frac{3}{2} + 1} } \right) = \frac{{5\sqrt {10} }}{4} > 1\)
Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} = \sqrt {x + 1} \)
Û 3x − 2 = x + 1
Û 2x = 3
\( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \frac{3}{2}\).
