Giải phương trình: x^2 + 6x + 1 = (2x + 1) căn bậc hai (x^2 + 2x + 3)

Giải phương trình: ${x^2} + 6x + 1 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3}$.

Điều kiện: x² + 2x + 3 ≥ 0

${x^2} + 6x + 1 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3}$

$\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 + 4x + 2 = (2x + 1)\sqrt {{x^2} + 2x + 3}$

Đặt $a = \sqrt {{x^2} + 2x + 3}$; b = 2x +1, phương trình trở thành:

a² + 2b = ab + 4

⇔ a² − 4− ab + 2b = 0

⇔ (a − 2)(a + 2) − b(a − 2) = 0

⇔ (a − 2)(a – b + 2) = 0

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a - b = - 2}\end{array}} \right.$.

Với a = 2 $\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 2$

Û x² + 2x – 1 = 0

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 2 - 1\,\,(tm)}\\{x = - \sqrt 2 - 1\,\,(tm)}\end{array}} \right.$

Với a – b = −2$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} - (2x + 1) = - 2$

$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x + 3} = 2x - 1$

⇔ x² + 2x+ 3 = 4x² − 4x + 1

⇔3x² − 6x − 2 =0

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt {15} }}{3}(tm)}\\{x = \frac{{3 - \sqrt {15} }}{3}\,\,(tm)}\end{array}} \right.$

Vậy tập hợp giá trị x thỏa mãn là: $S = \left\{ { - 1 \pm \sqrt 2 ;\frac{{3 \pm \sqrt {15} }}{3}} \right\}$.