Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x) = căn x-1 + căn 3-x - 2 căn -x^2+4x-3

Câu hỏi:

A. M=0

B. $M=-\sqrt{2}.$

C. $M=\sqrt{2}.$

D. $M=\frac{9}{4}.$

Trả lời:

Chọn C.

TXĐ:  $\text{D}=\left[1;3\right].$

Đặt  $t=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}\left(\sqrt{2}\le t\le 2\right)$ 

 $\stackrel{}{\to }{t}^2=x-1+3-x+2\sqrt{x-1}\sqrt{3-x}\stackrel{}{\to }-2\sqrt{-x^2+4x-3}=2-t^2.$

Khi đó, bài toán trở thành Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  $g\left(t\right)=-t^2+t+2$ trên đoạn  $\left[\sqrt{2};2\right]\text{'}\text{'}$.

Xét hàm số  $g\left(t\right)=-t^2+t+2$ xác định và liên tục trên  $\left[\sqrt{2};2\right].$

Đạo hàm  $g^{\text{'}}\left(t\right)=-2t+1<0,\forall t\in \left(\sqrt{2};2\right)$.

Suy ra hàm số  $g\left(t\right)$ nghịch biến trên đoạn  $\left[\sqrt{2};2\right].$

Do đó  $\underset{\left[\sqrt{2};2\right]}{\max }g\left(t\right)=g\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\stackrel{}{\to }\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\sqrt{2}.$