Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong 

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong BD có phương trình x + y − 5 = 0, biết H(−4; 1),  $M\left(\frac{17}{5};12\right)$. Tọa độ đỉnh A là:

*) Phương trình đường phân giác BD: x + y − 5 = 0

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{BD}=\left(1;1\right)\Rightarrow {\overrightarrow{u}}_{BD}=\left(-1;1\right)$

*) Gọi E là điểm đối xứng của H qua BD.

Phương trình đường thẳng EH:

+) Vì EH ^ BD suy ra phương trình EH: −x + y + c = 0

+) H(−4; 1) Î EH Þ −(−4) + 1 + c = 0 Û 5 + c = 0 Û c = −5

Do đó phương trình EH: −x + y − 5 = 0

*) Gọi BD Ç EH = I. Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình: 

$\left\{\begin{array}{l}x+y-5=0\\ -x+y-5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ -x+y=5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=5\end{array}\right.\Rightarrow I\left(0;5\right)\Rightarrow E\left(4;9\right)$

*) Phương trình đường thẳng AB đi qua  $M\left(\frac{17}{5};12\right)$ nhận  ${\overrightarrow{n}}_{ME}=\left(3;\frac{3}{5}\right)$ là VTPT là: 

$3\left(x-\frac{17}{5}\right)+\frac{3}{5}\left(y-12\right)=0$

$\iff 3x-\frac{51}{5}+\frac{3y}{5}-\frac{36}{5}=0$

Û 15x + 3y − 87 = 0

*) Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}15x+3y-87=0\\ x+y-5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-1\end{array}\right.\Rightarrow B\left(6;-1\right)$

Mà  $M\left(\frac{17}{5};12\right)$ là trung điểm của AB nên ta có: 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_A=2.\frac{17}{5}-6\\ y_A=2.12+1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{4}{5}\\ y_A=25\end{array}\right.\Rightarrow A\left(\frac{4}{5};25\right)$

Vậy  $A\left(\frac{4}{5};25\right)$.