Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;1) và cắt Ox, Oy tại 2 điểm A
Câu hỏi:
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;1) và cắt Ox, Oy tại 2 điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
Trả lời:
Ta có: A, B là giao điểm của d với Ox, Oy nên gọi A (a; 0), B(0; b) (a > 2; b > 1).
Phương trình d theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
Do M thuộc d nên ta có: \(\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\left( 1 \right)\)
Mặt khác SOAB = \(\frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}\left| {ab} \right| = \frac{1}{2}ab\)
Để diện tích OAB nhỏ nhất thì ab nhỏ nhất
Ta có: \(1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \ge 2\sqrt {\frac{2}{a}.\frac{1}{b}} \) ⇔\[\frac{2}{{ab}} \le \frac{1}{4}\]⇔ ab ≥8 (2)
Vậy diện tích OAB nhỏ nhất khi ab = 8
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}2b + a = ab = 8\\ab = 8\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = 8 - 2b\\2{b^2} - 8b + 8 = 0\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1\) hay x + 2y – 4 = 0.
