Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng 1/a^2 + b^2 lớn hơn bằng 2

Câu hỏi:

Trả lời:

Lời giải

Ta có $\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} - \frac{1}{{2ab}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:

$\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} \ge \frac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} = \frac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{1^2}}} = 4$        (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: 4ab ≤ (a + b)² = 1² = 1.

$\Rightarrow \frac{2}{{4ab}} \ge \frac{2}{1}$ $\Rightarrow \frac{1}{{2ab}} \ge 2$       (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: $\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{2ab}} - \frac{1}{{2ab}} \ge 4 - 2$.

Vậy $\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 2$ (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$.