Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi điểm M là trung điểm của AA'

Câu hỏi:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi điểm M là trung điểm của AA' và điểm N thuộc cạnh BB' sao cho

B N = \frac{1}{3} B B'

. Đường thẳng C'M cắt đường thẳng CA tại D, đường thẳng C'N cắt đường thẳng CB tại E. Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi AMDBNE và khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Trả lời:

Media VietJack

Ta có: V_AMDBNE = V_C'.CDE − V_CC'ABMN = V_C'.CDE − (V − V_C'.A'B'NM)

$\frac{S_{C D E}}{S_{A B C}} = \frac{C D}{C A} . \frac{C E}{C B}$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{D A}{D C} = \frac{A M}{C C'} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{C D}{C A} = 2$

$\frac{E B}{E C} = \frac{B N}{C C'} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{C E}{C B} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \frac{S_{C D E}}{S_{A B C}} = \frac{C D}{C A} . \frac{C E}{C B} = 2 . \frac{3}{2} = 3$

Lại có chóp C'.CDE và lăng trụ có cùng chiều cao.

$\Rightarrow \frac{V_{C' . C D E}}{V} = \frac{1}{3} \frac{S_{C D E}}{S_{A B C}} = 1 \Rightarrow V_{C' . C D E} = V$

Ta có:

$\frac{S_{A' B' N M}}{S_{A B B' A'}} = \frac{\frac{1}{2} (A' M + B' N) . d (A'; B B')}{B B' . d (A'; B B')}$

$= \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} B B' + \frac{2}{3} B B')}{B B'} = \frac{7}{12}$

$\Rightarrow \frac{V_{C' . A' B' N M}}{V_{C' . A B B' A'}} = \frac{S_{A' B' N M}}{S_{A B B' A'}} = \frac{7}{12}$

$\Rightarrow V_{C' . A' B' N M} = \frac{7}{12} V_{C' . A B B' A'}$

Mà $V_{C' . A B B' A'} = \frac{2}{3} V \Rightarrow V_{C' . A' B' N M} = \frac{7}{12} . \frac{2}{3} V = \frac{7}{18} V$

Vậy $V_{A M D B N E} = V - (V - \frac{7}{18} V) = \frac{7}{18} V$ hay $\frac{V_{A M D B N E}}{V} = \frac{7}{18}$ .

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Tính giá trị lớn nhất của hàm số y = x(2 − ln x) trên đoạn [2; 3].

Xem lời giải »

Câu 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x²ln x trên đoạn [1; 2].

Xem lời giải »

Câu 3:

Hàm số y = cos 2x đồng biến trên khoảng nào?

Xem lời giải »

Câu 4:

Hàm số y = cos 2x nghịch biến trên khoảng nào sau đây (k Î ℤ).

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hình thang ABCD có AB song song với CD. Cho AB = 2a và CD = a. Gọi O là trung điểm của AD. Khi đó:

Xem lời giải »

Câu 6:

Trong không gian, cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB = a, CD = 2a, AD = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB. CD. Gọi K là khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thành ABCD quanh trục MN. Tính diện tích toàn phần S_ep của khối K.

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a. Quay hình tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC xung qunah cạnh BC ta được một khối tròn xoay có thể tích bằng:

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho tam giác ABC cân tại A, góc $\hat{B A C} = 120 °$ và AB = 4 cm. Tính thể tích khối tròn xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng chứa một cạnh của tam giác ABC.

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

1000 bài tập trắc nghiệm ôn tập môn Toán có đáp án

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi điểm M là trung điểm của AA'

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: