Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); phân giác AD. Vẽ đường tròn (O') đi

Cho A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C. Từ điểm A, vẽ hai tiếp tuyến AM; AN. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN.

a) Chứng minh AM² = AN² = AB.AC.

b) ME cắt (O) tại I. Chứng minh IN // AB.

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên 1 đường thẳng cố định khi (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B và C.

Chứng minh rằng 4n³ + 9n² – 19n – 30 chia hết cho 6 (n ∈ ℤ).

Bạn An nghĩ ra một số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1, 2, 3 và chữ số tận cùng là số chẵn.

Cho dãy số (u_n) với u_n = 2n + 3. Dãy số này có phải cấp số cộng không?

Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với đường tròn (O) và H là giao điểm của BD và AK.

a) ΔABE là tam giác gì?

b) Chứng minh rằng EH vuông góc với AB.

c) Chứng minh rằng OD vuông góc với AK.

Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 2mx – 2m + 3

a. Khi m = \(\frac{1}{2}\). Xác định tọa độ giao điểm của (d) và (P)

b. Gọi A(x₁,y₁) và B(x₂,y₂) là các giao điểm của (d) và (P). Tìm các giá trị của m để y₁ + y₂ < 9

Cho tam giác ABC vuông tại B. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC,BC. Kẻ Ex song song với BC cắt AB tại M

a) Chứng minh BMEF là hình chữ nhật

b) Gọi K đối xứng với B qua E. Tứ giác BAKC là hình gì? Vì sao?

c) Gọi G đối xứng với E qua F. Tứ giác BGCE là hình gì? Vì sao?

d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác BGCE là hình vuông?

Cho tam giác ABC. Các điểm M và N được xác định bởi hệ thức \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} - 2\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CN} = x\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \). Xác định giá trị của x để A, M, N thẳng hàng.