Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng (-1000;1000)  để hàm số y=2x^3-3(2m+1)x^2+6m(m+1)x+1

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng $\left(-1000;1000\right)$  để hàm số $y=2x^3-3\left(2m+1\right)x^2+6m\left(m+1\right)x+1$  đồng biến trên khoảng $\left(2;+\infty \right)$ ?

Ta có $y\text{'}=6x^2-6\left(2m+1\right)x+6m\left(m+1\right)=6.\left[x^2-\left(2m+1\right)x+m\left(m+1\right)\right]$

Xét phương trình $y^{/}=0$  có $\Delta ={\left(2m+1\right)}^2-4m\left(m+1\right)=1>0,\forall m\in ℝ.$

Suy ra phương trình $y^{/}=0$  luôn có hai nghiệm $x_1<x_2$  với mọi m.

Theo định lí Viet, ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m+1\\ x_1{x}_2=m\left(m+1\right)\end{array}\right..$ 

Để hàm số đồng biến trên $\left(2;+\infty \right)\iff$  phương trình $y^{/}=0$ có hai nghiệm $x_1<x_2\le 2$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x_1-2\right)+\left(x_2-2\right)<0\\ \left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2<4\\ x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+4\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m+1<4\\ m\left(m+1\right)-2\left(2m+1\right)+4\ge 0\end{array}\right.\iff m\le 1$

$\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m=\left\{-999;-998;\mathrm{...};1\right\}.$

Vậy có 1001 số nguyên m thuộc khoảng $\left(-1000;1000\right).$  Chọn B.