Tìm m để phương trình 6x + (3 - m)^2x - m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1)
Câu hỏi:
Tìm m để phương trình 6x + (3 – m)2x – m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Trả lời:
6x + (3 – m)2x – m = 0
⇔ 6x + 3.2x = m(2x + 1)
⇔ \[m = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\]
Đặt f(x) = \[\frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\]
f(x) – 2 = \[\frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}} - 2 = \frac{{{6^x} + {2^x} - 2}}{{{2^x} + 1}}\]
Vì x > 0 nên 6x + 2x – 2 > 60 + 20 – 2 = 0
Suy ra: f(x) – 2 > 0
Hay f(x) > 2 (1)
Lại có: f(x) – 4 = \[\frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}} - 4 = \frac{{{6^x} - {2^x} - 4}}{{{2^x} + 1}}\]
Do 0 < x < 1 nên 6x = (2.3)x = 2x . 3x < 2x . 31 = 3.2x
Suy ra: 6x – 2x – 4 < 3.2x – 2x – 4 = 2.2x – 4 < 2.21 – 4 = 0
Suy ra: f(x) – 4 < 0 hay f(x) < 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có: 2 < f(x) < 4
Để phương trình có nghiệm thì 2 < m < 4.
