Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=tanx-2/tanx-m+1

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m + 1}$ đồng biến trên khoảng $(0; \frac{π}{4})$ .

A. $m \in [1; + \infty)$

B. $m \in (3; + \infty)$

C. $m \in [2; 3)$

D. $m \in (- \infty; 1] \cup [2; 3) .$

Trả lời:

Đặt $t = \tan x$ , với $x \in (0; \frac{π}{4}) \overset{}{\to} t \in (0; 1) .$

Hàm số trở thành $y (t) = \frac{t - 2}{t - m + 1} \overset{}{\to} y' (t) = \frac{3 - m}{{(t - m + 1)}^{2}}$

Ta có $t' = \frac{1}{\cos^{2} x} > 0, \forall x \in (0; \frac{π}{4})$ , do đó $t = \tan x$ đồng biến trên $(0; \frac{π}{4})$ .

Do đó YCBT $\overset{}{\leftrightarrow} y (t)$ đồng biến trên khoảng (0;1) $\overset{}{\leftrightarrow} y' (t) > 0, \forall t \in (0; 1)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - m > 0 \\ t - m + 1 \neq 0 \end{cases}, \forall t \in (0; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - m > 0 \\ m - 1 \neq t \end{cases}, \forall t \in (0; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - m > 0 \\ m - 1 \notin (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq 1 \\ 2 \leq m < 3 \end{array}$