Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân ∫ 0 π/4 f(tan x)dx = 4 và ∫ 0 1 x^2f(x) / x^2 +1 dx

Câu 1:

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = $\sqrt{3}$ , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( $0\le x\le \sqrt{3}$ ) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và  $\sqrt{1+x^2}$ 

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho parabol (P): y= $x^2+m$ . Gọi  (d) là tiếp tuyến với  (P) qua O có hệ số góc k > 0. Xác định m để thể tích vật thể được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi (P), (d)  và trục Oy quay quanh trục Oy bằng 6$\mathrm{\pi }$.

Xem lời giải »

Câu 3:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số $y = \frac{x^2}{4}$   trong miền $x\ge 0, y\le 1$ là phân số tối giản $\frac{a}{b}$ . Khi đó b - a bằng

Xem lời giải »

Câu 4:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \left\{\begin{array}{l}-x, nếu x\le 1\\ x-2, nếu x>1\end{array}\right.$ và y = $\frac{10}{3}x - x^2$  là $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) . Khi đó a + 2b bằng

Xem lời giải »

Câu 5:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = xsin2x, y = 2x,  $x = \frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Xem lời giải »

Câu 6:

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y = x^2- 4x + 6$ và y = $-x^2-2x + 6$

Xem lời giải »

Câu 7:

Biết là ${\int }_{\frac{2\mathrm{\pi }}{3}}^{\mathrm{\pi }}\frac{1 - x\tan x}{x^2\cos x + x}dx = \ln \left|\frac{\mathrm{\pi }-\mathrm{a}}{\mathrm{\pi }-\mathrm{b}}\right|$ ( a,b $\in \mathrm{\mathbb{Z}}$). Tính P = a + b.

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = $\sqrt{3}{x}^2$ và nửa đường tròn có phương trình y = $\sqrt{4 -x^2}$ với $-2 \le x\le 2$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Xem lời giải »