X

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Mục lục Các dạng bài tập Toán lớp 12 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Tổng hợp lý thuyết Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số Chủ đề: Cực trị của hàm số Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Chủ đề: Tiệm cận của đồ thị hàm số Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số Chủ đề: Điểm thuộc đồ thị Chủ đề: Nhận dạng đồ thị hàm số Chuyên đề: Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và hàm số logarit Tổng hợp lý thuyết Chương Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ, hàm số logarit Chủ đề: Hàm số mũ, Hàm số lũy thừa, Hàm số Lôgarit Chủ đề: Phương trình mũ Chủ đề: Bất phương trình mũ Chủ đề: Phương trình logarit Chủ đề: Bất phương trình logarit Bài tập đồ thị hàm số mũ và logarit Chuyên đề: Nguyên hàm - tích phân và ứng dụng Tổng hợp lý thuyết Chương Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng Chủ đề: Nguyên hàm Chủ đề: Tích phân Chuyên đề: Số phức Tổng hợp lý thuyết Chương Số phức Dạng đại số của số phức Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai Dạng lượng giác của số phức Tập hợp điểm biểu diễn số phức Tìm max min số phức Bài tập số phức tổng hợp Chuyên đề: Khối đa diện Tổng hợp lý thuyết Chương Khối đa diện Chủ đề: Khái niệm khối đa diện Chủ đề: Thể tích khối đa diện Chủ đề: Thể tích hình chóp Chủ đề: Thể tích hình lăng trụ Chuyên đề: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Tổng hợp lý thuyết Chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chủ đề: Mặt cầu Chủ đề: Hình trụ Chủ đề: Hình nón, khối nón Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian Tổng hợp lý thuyết Chương Phương pháp tọa độ trong không gian Chủ đề: Hệ tọa độ trong không gian Chủ đề: Phương trình mặt cầu Chủ đề: Phương trình mặt phẳng Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gian Bài tập Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Bài tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Bài tập Cực trị của hàm số Bài tập Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Bài tập Đường tiệm cận Bài tập Đường tiệm cận Bài tập Ôn tập Toán 12 Chương 1 Bài tập Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Bài tập Lũy thừa Bài tập Hàm số lũy thừa Bài tập Lôgarit Bài tập Hàm số mũ. Hàm số Lôgarit Bài tập Phương trình mũ và phương trình Lôgarit Bài tập Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit Bài tập Ôn tập Toán 12 Chương 2 Bài tập Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Bài tập Nguyên hàm Bài tập Tích phân Bài tập Ứng dụng của tích phân trong hình học Bài tập Ôn tập Toán 12 Chương 3 Bài tập Chương 4 : Số phức Bài tập Số phức Bài tập Cộng, trừ và nhân số phức Bài tập Phép chia số phức Bài tập Phương trình bậc hai với hệ số thực Bài tập Ôn tập Toán 12 Chương 4 Bài tập Ôn tập cuối năm Giải tích 12 Bài tập Chương 1: Khối đa diện Bài tập Khái niệm về khối đa diện Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Bài tập Khái niệm về thể tích của khối đa diện Bài tập Ôn tập Toán 12 chương 1 Hình học Bài tập Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Bài tập Khái niệm về mặt tròn xoay Bài tập Mặt cầu Bài tập Ôn tập Toán 12 chương 2 Hình học Bài tập Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Bài tập Hệ tọa độ trong không gian Bài tập Phương trình mặt phẳng Bài tập Phương trình đường thẳng trong không gian Bài tập Ôn tập Toán 12 chương 3 Hình học Bài tập Ôn tập cuối năm Hình học 12

Các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số chọn lọc - Toán lớp 12

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số chọn lọc

Với Các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số chọn lọc Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số chọn lọc

Tổng hợp lý thuyết Chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Chủ đề: Cực trị của hàm số

Chủ đề: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chủ đề: Tiệm cận của đồ thị hàm số

Chủ đề: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Chủ đề: Tương giao của đồ thị hàm số

Chủ đề: Điểm thuộc đồ thị

Chủ đề: Nhận dạng đồ thị hàm số

Bài tập trắc nghiệm

Cách xét tính đơn điệu của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

    Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

    Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

4. Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

   Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

   Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

   Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x3 - 6x2 + 9x -3

Hướng dẫn

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x2 - 12x + 9

y' = 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Ví dụ 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau √(2x-x2)

Hướng dẫn

Tập xác định D = [0; 2]

Ta có : y' = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải y' = 0 ⇔ x=1

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1); Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2)

Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y = (3x + 1)/(1 - x)

Hướng dẫn

Hàm số xác định và liên tục trên D = R\{1}.

Tìm y' = Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải > 0; ∀x ≠ 1.

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞ ; 1)và (1 ; +∞).

Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm y'

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≥ 0 ∀ x ∈ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi y' ≤ 0 ∀x ∈ K

Bước 2: Cô lập tham số m đưa về dạng m≥g(x) hoặc m ≤ g(x)

Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của g(x)

Bước 4: Kết luận

m ≥ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≥ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

m ≤ g(x) ∀ x ∈ K khi và chỉ khi m ≤ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Một số hàm số thường gặp

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

⇒ f'(x) = 3ax2 + 2bx + c

Với a > 0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi β ≤ xc hoặc α ≥ x2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2

Với a <0 và f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2

Hàm số đồng biến trên (α; β) khi và chỉ khi x1 ≤ α < β ≤ x2

Hàm số nghịch biến trên (α; β) khi và chỉ khi β≤x1 hoặc α ≥ x2

Hàm phân thức bậc nhất: y = (ax + b)/(cx + d) ⇒ y'= (ad - bc)/(cx + d)2

Hàm số đồng biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad-bc>0 và -d/c ∉ K

Hàm số nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi ad - bc < 0 và -d/c ∉ K

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3/3 - mx2+(1 - 2m)x- 1 đồng biến trên (1; +∞)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y' = x2 - 2mx + 1 - 2m

Hàm số đã cho đồng biến trên (1; +∞)⇔ ∀ x ∈(1; +∞),y' ≥ 0

⇔ ∀ x ∈ (1; +∞), x2 -2mx + 1 - 2m ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈(1; +∞), x2 + 1 ≥ 2m(x + 1)

⇔ ∀ x ∈(1; +∞),2m ≤ (x2 + 1)/(x + 1) (do x + 1 > 0 khi x > 1)

Xét hàm số f(x) = (x2 + 1)/(x + 1), x ∈ (1; +∞)

f'(x) = (x2 + 2x - 1)/(x + 1)2 >0 với mọi x Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (1;+∞)

Ta có bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Dựa vào bảng biến thiên để 2m ≤ f(x),∀ x ∈(1; +∞) thì 2m ≤ 1 ⇔ m ≤ 1/2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = (2x - 1)/(x - m) nghịch biến trên khoảng (2; 3)

Hướng dẫn

TXĐ: D=R\{m}.

Ta có y'= (-2m + 1)/(x - m)2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; 3) thì hàm só phải xác định trên khoảng (2; 3) và y' < 0 ∀ x ∈ (2; 3).

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ 3: Tìm các giá trị m để hàm số y = mx3 - x2 + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3 ; 0)

Hướng dẫn

TXĐ: D = R

Ta có y'= 3mx2 - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0) khi và chỉ khi:

y' ≥ 0,∀ x ∈(-3; 0) (Dấu '' = '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3; 0))

⇔ 3mx2 - 2x + 3 ≥ 0, ∀ x ∈(-3; 0)

⇔ m ≥(2x-3)/(3x2 ) = g(x) ∀ x ∈(-3;0)

Ta có: g'(x) = (-2x + 6)/(3x3 ); g'(x) = 0 ⇔ x = 3

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy m ≥ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải= -1/3.

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

   Bước 1: Tính y'=f'(x).

   Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (1).

   Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 - 4x1.x2=l2 (2).

   Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.

   Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 - 2mx2 + 2mx - 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'(x) = x2 - 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 4m2 - 2m > 0 ⇔ Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Theo Vi ét ta có Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   + Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 - 4x1 x2 - 9 = 0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (thỏa mãn)

Vậy giá trị của m cần tìm là m=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m-1)x + 2m - 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'(x)= -3x2 + 6x + m - 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1

   + f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ'= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   + Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4x1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m - 2) x2 + 1 có khoảng nghịch biến (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y' = -4x3 + 2(m - 2)x Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Để hàm số có khoảng nghịch biến (x1;x2) thì phương trình -2x2 + m - 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞)

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng 1 hay x1 = -1

Vì -2x2 + m - 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m - 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 chọn lọc, có đáp án hay khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯
2018 © All Rights Reserved. DMCA.com Protection Status