Các dạng bài tập Hình trụ chọn lọc, có đáp án - Toán lớp 12

Các dạng bài tập Hình trụ chọn lọc, có đáp án

Với Các dạng bài tập Hình trụ chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 50 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hình trụ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

• Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ Xem chi tiết
• Dạng 1: Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ Xem chi tiết
• Dạng 2: Thiết diện của hình trụ Xem chi tiết
• Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ cực hay Xem chi tiết
• Dạng bài tập về hình trụ, mặt trụ cực hay, có lời giải Xem chi tiết
• Dạng bài tập hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình cầu, nón, lập phương cực hay Xem chi tiết

Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:

    + Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh

    + Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + S_đ = 2πrh + 2πr²

    + Thể tích khối trụ: V = πr² h

Ví dụ minh họa

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7cm. Tính Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.

Hướng dẫn:

Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh = 2π.5.7 = 70π

Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = 2πrh + 2πr² = 70π+2π.5² = 120π

Thể tích khối trụ: V= πr² h = 2π.5².7 = 350π

Bài 2:

a) Một hình trụ (T) có diện tích toàn phần là 120π (cm²) và có bán kính đáy bằng 6 cm. Tính chiều cao của (T)

b) Một hình trụ (T) có thể tích bằng 81π (cm³) và đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của (T) là:

Hướng dẫn:

a) Ta có:

S_tp = 2πrh + 2πr² = 2π.6.h + 2π.6² = 120π

⇒ h = 4(cm)

Vậy chiều cao của hình trụ là 4 cm.

b) Gọi bán kính đáy của hình trụ là r

Do đường sinh của hình trụ bằng chiều cao nên chiều cao của hình trụ là 3r

Ta có: V = πr² h = πr².3r = 81π ⇒ r = 3

Vậy độ dài đường sinh là 3.3 = 9 cm.

Bài 3: Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = a√2 và ∠(ACB)=45^ordm;. Tính diện tích toàn phần S_tp của hình trụ (T)

Hướng dẫn:

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có bán kính đáy BC, đường cao AB

∆ABC vuông cân tại B có AC = a√2 ⇒ AB = BC = a.

S_tp = 2πrh+2πr² = 2π.a.a+2πa² = 4πa²

Cách xác định thiết diện của hình trụ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng , trong đó φ là góc giữa trục Δ và mặt phẳng (α) với 0 < φ < 90º.

- Cho mặt phẳng (α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.

    + Nếu k < r thì mặt phẳng (α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật.

    + Nếu k = r thì mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

    + Nếu k > r thì mặt phẳng (α) không cắt mặt trụ.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a, tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối trụ

Hướng dẫn:

Thiết diện là hình vuông ABCD cạnh 2a

Đường cao của hình trụ là AB = 2a, bán kính đáy OB = a.

Diện tích xung quanh của khối trụ là: S_xq = 2πrh=2π.a.2a=4πa²

Diện tích toàn phần của khối trụ là S_tp = 2πrh+2πr²=4πa²+2πa²=6πa²

Thể tích của khối trụ là: V=πr² h=π.a².2a=2πa³

Bài 2: Khối trụ có bán kính đáy R = a .Thiết diện song song với trục và cách trục khối trụ một khoảng bằng a/2 là hình chữ nhật có diện tích bằng a² √3 .Tính thể tích khối trụ

Hướng dẫn:

∆BOC cân tại O có OH là đường cao

⇒ H là trung điểm của BC

ABCD là hình chữ nhật nên:

S_ABCD = AB.BC=AB.a√3=a² √3⇒ AB=a

Thể tích của khối trụ là:

V=πr² h=π.a².a= πa³

Bài 3: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AD = 12 cm và góc ACD bằng 60º. Tính thể tích của khối trụ

Hướng dẫn:

Xét tam giác ADC vuông tại C có:

Thể tích của khối trụ là:

V=πr² h=π.(2√3)².12=144π

Cách tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ

1. Phương pháp giải

• Diện tích xung quanh của hình trụ là:
S_xq = 2πrh

• Diện tích toàn phần của hình trụ là:
S_tp = S_xq + S_2day = 2πrh + 2πr²

• Thể tích của khối trụ là: V = S_day.h = 2πr²h

Trong đó, r là bán kính đường tròn đáy của hình trụ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và góc = 30⁰ . Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:

A. √3πa²    B. 2√3πa²    C. πa²    D. πa²

Hướng dẫn giải:

+ Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD ta được hình trụ như hình vẽ.

Hình trụ tạo thành có:

+ Bán kính đường tròn đáy là r = AB = a

+ Đường cao của hình trụ là:
h = BC = CD.tan30⁰ =

Suy ra, diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

Chọn C.

Ví dụ 2 Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng:

Hướng dẫn giải:

+ Gọi O là tâm của tam giác ABC và M là trung điểm BC. ( khi đó, O là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp ( ngoại tiếp ) tam giác ABC – vì tam giác ABC đều)

+ Ta có: AM = AM.sinC = a.sin60⁰ =

+ Chiều cao tứ diện

Bán kính đường tròn nội tiếp đáy ABC:
r = OM =

Do đó, diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

Chọn C.

Ví dụ 3 Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O’). Trên hai đường tròn lấy hai điểm A, B sao cho góc giữa AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy bằng 45⁰ và khoảng cách đến trục OO’ bằng . Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a.

Hướng dẫn giải:

Đặt OO’ = h. Gọi I, E, D lần lượt là trung điểm của BC, BA, OO’.

Ta có: d(AB,OO') = ED = IO' =

Tam giác ABC vuông tại C có B = 45⁰
⇒ tam giác ABC vuông cân

⇒ BC = AC = h

Ta có:

Thể tích khối trụ là: V = πa².a √2 = πa³√2

Chọn B.