Các dạng bài tập Khái niệm Khối đa diện chọn lọc, có đáp án - Toán lớp 12
Các dạng bài tập Khái niệm Khối đa diện chọn lọc, có đáp án
Với Các dạng bài tập Khái niệm Khối đa diện chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 50 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Khối đa diện từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
- Lý thuyết & Bài tập Khái niệm về khối đa diện Xem chi tiết
- Lý thuyết & Bài tập Phép dời hình và hai đa diện bằng nhau Xem chi tiết
- Lý thuyết & Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều Xem chi tiết
- Cách nhận dạng các khối đa diện cực hay Xem chi tiết
- Dạng bài Tính chất đối xứng của khối đa diện cực hay Xem chi tiết
- Dạng bài Tính chất của khối đa diện cực hay Xem chi tiết
- Cách phân chia, lắp ghép các khối đa diện cực hay Xem chi tiết
- Cách giải bài tập về Phép biến hình cực hay Xem chi tiết
- Dạng bài tập về định lí Ơ-le và khối đa diện đều cực hay Xem chi tiết
Cách nhận dạng các khối đa diện
1. Phương pháp giải
* Cho hình (H) thỏa mãn hai đặc điểm :
+ Gồm một số hữu hạn đa giác phẳng
+ Phân chia không gian ra thành hai phần : phần bên trong và phần bên ngoài của hình đó.
Hình (H) cùng với các điểm nằm trong (H) được gọi là khối đa diện giới hạn bởi hình (H).
* Hình đa diện :
Xét các khối đa diện giới hạn bởi hình (H) gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện :
+ Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có 1 đỉnh chung, hoặc có 1 cạnh chung.
+Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác
Hình (H) gồm các đa giác như thế được gọi là một hình đa diện ( đa diện).
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
A. Hình 1.
B. Hình 2.
C. Hình 3.
D. Hình 4.
Hướng dẫn giải
Hình đa diện là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:
1. Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có một đỉnh chung hoặc chỉ có một cạnh chung.
2. Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Các hình 2, 3, 4 đều không thỏa mãn tính chất số 2.
Chọn A
Ví dụ 2. Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là: Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là:
A. Hình 1.
B. Hình 2.
C. Hình 3.
D. Hình 4.
Hướng dẫn giải
Áp dụng các tính chất của hình đa diện:
+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;
+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hoặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chung nào.
Hình 4 không có tính chất 2: hai mặt bất kì có 1 điểm chung – nhưng điểm đó không phải là đỉnh.
Chọn D.
Ví dụ 3. Cho các hình sau:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là:
Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Các hình 1; hình 3; hình 4 là các hình hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn 2 điều kiện:
+ Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có 1 đỉnh chung hoặc có 1 cạnh chung
+ Mỗi cạnh của 1 đa giác là cạnh chung của đúng 2 đa giác.
Do đó, các hình 1, 3 và hình 4 là các hình đa diện.
Chọn C.
Dạng bài Tính chất đối xứng của khối đa diện
1. Phương pháp giải
Quy tắc tìm các mặt phẳng đối xứng:
Do tính chất đối xứng nhau, nên cứ đi từ trung điểm các cạnh ra mà tìm. Đảm bảo rằng nếu chọn 1 mặt phẳng đối xứng nào thì các điểm còn lại phải chia đều về 2 phía.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:
A. 10.
B. 8.
C. 6.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện.
Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.
Chọn C
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với (ABCD). Hình chóp này có mặt đối xứng nào?
A. Không có.
B. (SAB).
C. (SAC).
D. (SAD)
Hướng dẫn giải
Ta có:
và O là trung điểm của BD. Suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
Suy ra (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp, và đây là mặt phẳng duy nhất.
Chọn C.
Ví dụ 3. Gọi n1, n2, n3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. n1= 0; n2 = 0; n3 = 6
B. n1 = 0; n2 = 1; n3 = 9
C. n1 = 3; n2 = 1; n3 = 9
D. n1 =0; n2= 1; n3 = 3
Hướng dẫn giải
+Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện).
+Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác).
+Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ; Loại 2: đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện).
Chọn C.
Dạng bài Tính chất của khối đa diện
1. Phương pháp giải
Gọi m, c, d theo thứ tự là số mặt, số cạnh, số đỉnh của đa diện (H)
• Ta luôn có: m,d≥4; c≥6 ; m < c; d < c (1)
• Nếu mỗi đa diện (H) có chung p cạnh thì
mp = 2c (2)
• Nếu mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của p mặt thì ta có
dq = 2c (3)
• Công thức Ơ-le: d + m – c= 2 (4)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh.
B. Mỗi hình đa diện có ít nhất ba cạnh.
C. Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.
D. Số mặt cảu một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó.
Hướng dẫn giải
- A Đúng: Ta chứng minh như sau:
Gọi M1 là môt mặt khối đa diện, M1 là đa giác nên có ít nhất 3 cạnh c1; c2; c3.
M2 chung cạnh c1 với M1(M2≠M1) , M3 chung cạnh c2 với M1(M3≠M1)
Vì c1∈M3⇒M2≠M3. Gọi M4 là mặt có chung cạnh c3 với M1(M4≠M1)
Vì M4 không chứa c1, c2 nên M4 khác M2 và M3. Do đó khối đa diện có ít nhất 4 mặt ⇒ mỗi hình đa giác có ít nhất 4 đỉnh.
- B Sai.
- C Sai: Ví dụ như hình chóp tam giác có 4 đỉnh nhưng có 6 cạnh.
- D Sai: Lấy ví dụ là hình chóp tam giác có 4 mặt nhưng có 6 cạnh.
Chọn A.
Ví dụ 2. Một hình chóp có 46 cạnh có bao nhiêu mặt?
A.24
B.46
C.69
D.25
Hướng dẫn giải
Giả sử đa giác đáy có n cạnh.
Suy ra hình chóp có 2n cạnh.
Theo giả thiết giả thiết hình chóp có 46 cạnh nên ta có: 2n = 46
⇔ n= 23.
Do đó, có 23 mặt bên và 1 mặt đáy. Do đó hình chóp có tổng cộng là 24 mặt.
Chọn A
Ví dụ 3. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 12 cạnh, 20 mặt.
B. Hình hai mươi mặt đều có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt.
C. Hình hai mươi mặt đều có 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt
D. Hình hai mươi mặt đều có 30 đỉnh, 20 cạnh, 12 mặt.
Hướng dẫn giải
Khối 20 mặt đều có các mặt là tam giác đều, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 5 cạnh
Gọi số đỉnh là n. Suy ra, số cạnh là 5n/2
Theo định lí Ơ-le: 
Vậy số đỉnh là 12, số cạnh là 30.
Chọn C
Ví dụ 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Số đỉnh và số mặt của mọi hình đa diện luôn luôn bằng nhau.
B. Số đỉnh của mọi hình đa diện luôn lớn hơn 4.
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh gấp hai lần số đỉnh.
D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 6.
Hướng dẫn giải
- Hình lập phương có 8 đỉnh, 6 mặt. Số đỉnh khác số mặt. Vậy loại A.
- Hình tứ diện có 4 đỉnh, suy ra số đỉnh của hình đa diện có thể không lớn hơn 4. Vậy loại B
- Hình tứ diện là hình có số cạnh ít nhất (bằng 6). Do đó không tồn tại hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 6. Vậy loại D
- Hình bát diện có số cạnh gấp hai lần số đỉnh.
Chọn C.
