Các dạng bài tập Tiếp tuyến của đồ thị hàm số chọn lọc, có đáp án - Toán lớp 12

---

Các dạng bài tập Tiếp tuyến của đồ thị hàm số chọn lọc, có đáp án

Với Các dạng bài tập Tiếp tuyến của đồ thị hàm số chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tiếp tuyến của đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

• 2 dạng bài Tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có lời giải Xem chi tiết
• Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Xem chi tiết
• Trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Xem chi tiết
• Dạng 2: Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số Xem chi tiết

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x), gọi đồ thị của hàm số là (C).

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại M(x₀; y₀)

♦ Phương pháp

• Bước 1. Tính y’= f’(x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y’(x₀)

• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(x₀; y₀) có dạng

y - y₀ = f'(x₀).(x - x₀).

◊ Chú ý:

• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thì khi đó ta tìm y₀ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y₀ = f(x₀). Nếu đề cho y₀ ta thay vào hàm số để giải ra x₀.

• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y= ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

♦ Phương pháp

• Bước 1. Gọi M (x₀; y₀) là tiếp điểm và tính y' = f'(x).

• Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k' f'(x₀). Giải phương trình này tìm được x₀; thay vào hàm số được y₀

• Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

d: y – y₀ = f'(x₀).(x - x₀)

◊ Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

• Tiếp tuyến d // Δ: y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a.

• Tiếp tuyến d ⊥ Δ: y = ax + b, (a ≠ 0) hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a.

• Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tanα

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A; y_A).

♦ Phương pháp

Cách 1.

• Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A; y_A) hệ số góc k có dạng

d: y = k(x - x_A) + y_A (*)

• Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

• Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

• Bước 1. Gọi M(x₀; f(x₀)) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x₀) = f'(x₀) theo x₀.

• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = y'(x₀).(x – x₀) + y₀ (**). Do điểm A(x_A; y_A) d nên y_A = y'(x₀).(x_A- x₀) + y₀ giải phương trình này ta tìm được x₀.

• Bước 3. Thế x₀ vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Bài tập trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Câu 1: Cho hàm số y= (2x - 1)/(x + 1), viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

   A. y = (-1/3)x + 5/3

   B. y = (-1/2)x + 2

   C. y = (1/3)x + 1/3

   D. y = (1/2)x

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có y' = 3/(x + 1)² ; y'(2) = 1/3; y(2) = 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

Câu 2: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = √(x + 2) tại điểm có tung độ bằng 2 là:

   A. x + 4y - 3 = 0     B. 4x + y + 1 = 0

   C. x - 4y + 6 = 0     D. x - 4y + 2 = 0

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x_o, y_o). Có √(x_o + 2) = 2 ⇔ x_o = 2

Có y' = 1/(2√(x + 2)) ; y'(0) = 1/4. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y = (1/4)(x-2) + 2 = (1/4)x + 3/2 hay x - 4y + 6 = 0.

Câu 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= (x + 3)/(1 - x) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x_o, y_o). Có y' = 4/(1 - x)² nên 4/(1 - x_o)² = 4

Với x_o = 0 ⇒ y(x_o) = 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4(x - 0)+ 3 = 4x + 3

Với x_o = 2 ⇒ y(x_o) = -5. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4(x - 2)- 5 = 4x - 13

Câu 4: Cho hàm số y = (-2x + 3)/(x - 1) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng y = x - 3

   A. y = -x - 3; y= -x + 1     C. y = x - 3; y = -x + 1

   B. y = -x - 3; y= x + 1     D. y = x + 3; y = -x + 1

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Có y' = (-1)/(x - 1)²

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = x - 3 là:

Với x = 0; y = -3; y'(0) = -1. Phương trình cần tìm là y = -x - 3

Với x = 2; y = -1; y'(2) = -1. Phương trình cần tìm là y = -x + 1

Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x³ - 4 đi qua điểm A(2; 4) là:

   A. y = 2x + 1; y = 12x     B. y = 4x - 1; y = 9x + 3

   C. y = x - 1; y = 3x + 2     D. y = 3x - 2; y = 12x - 20

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có y' = 3x² . Gọi M(x_o, y_o) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y = 3x_o²(x - x_o) + x_o³ - 4

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 4) nên ta có:

4 = 3x_o²(2 - x_o) + x_o³ - 4

⇔ -2x_o³ + 6x_o² - 8 = 0 ⇔

Với x_o = -1 thì . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x - 2

Với x_o = 2 thì . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 12x - 20

Câu 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 1 vuông góc với đường thẳng x - 3y = 0 có phương trình là:

   A. y = -3x + 2     B. y = -3x - 2

   C. y = 3x + 4     D. y = 3x + 2

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Đường thẳng x - 3y = 0 hay y = 1/3x. Có y' = 3x² - 6x

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x - 3y = 0 nên 3x_o² -6x_o = -3 ⇔ x_o = 1

Với x_o = 1; y(1) = -1; y'(1) = -3. Phương trình cần tìm là:

y = -3(x - 1) - 1 = -3x + 2

Câu 7: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 1 (C). Ba tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng d:y = x - 2 có tổng hệ số góc là:

   A. 12     B. 14

   C. 15     D. 16

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có y^'=3x² -6x

Phương trình hoành độ giao điểm x³ - 3x² + 1 = x - 2

Tổng y'(-1) + y'(1) + y'(1) = 9 + 9 - 3 = 15.

Câu 8: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x³ + 2x² song song với đường thẳng y = x

   A. 2     B. 1

   C. 3     D. 4

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có y^'=-3x² +4x

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=x nên y'(x_o) = 1

Với x_o = 1; y(1) = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x (loại)

Với x_o = 1/3; y(1) = 5/27. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x - 4/27 (thỏa mãn)

Câu 9: Cho hàm số y = -x³ + 6x² + 3x + 3 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất có phương trình là:

   A. y = 15x + 55     B. y = -15x - 5

   C. y = 15x - 5     D. y = -15x + 55

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có y' = -3x² + 12x + 3 = -3(x² - 4x - 1) = -3[(x - 2)² - 5] ≤ 15

Hệ số góc lớn nhất là y' = 15. Dấu bằng xảy ra khi x = 2, khi đó y = 25

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 15(x - 2) + 25 = 15x - 5

Câu 10: Cho hàm số y = -x³ + 3x - 2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành có phương trình là:

   A. y = -9x - 18    

   C. y = -9x + 18    

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có y^'=-3x² + 3

Phương trình hoành độ giao điểm -x³ +3x-2=0 ⇔

Với x = -2; y(2) = 0; y'(2) = -9. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -9x - 18

Với x = 1; y(2) = 0; y'(2) = 0. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 0

Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x⁴ + (1/2)mx² + m - 1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm m.

Hướng dẫn giải:

   - Ta có y' = 4x³ + mx

   - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là -1 là y'(-1)=-4 - m

   - Hệ số góc của đường thẳng x - 3y + 1 = 0 hay y = (1/3)x + 1/3 là 1/3

   - Vì tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0 nên (-4 - m).(1/3) = -1 ⇔ -4 - m = 3 ⇔ m = -1

Ví dụ 2: Cho y = (3 - 2x)/(x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua hai điểm A(-7;6) và B(-3;10).

Hướng dẫn giải:

   Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x_o (x_o ≠ -1) là:

   Δ: y = y' (x_o )(x - x_o ) + y(x_o ) ⇒ Δ:y = - 5/(x_o + 1)² (x - x_o ) + (3 - 2x_o )/(x_o + 1)

   ⇒ Δ: 5x + (x_o + 1)² y + 2x_o² - 6x_o - 3 = 0

    Vì Δ cách đều các điểm A và B nênc

   d(A; Δ) = d(B; Δ)

   Vậy các tiếp tuyến cách đều A và B là y = (-5/4)x + 7/4 và y = -5x - 17

Ví dụ 3: Tìm m để (C_m): y = x³ + 3x² + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến với (C_m) tại D và E vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

   Phương trình hoành độ giao điểm x³ + 3x² + mx + 1 = 1 ⇔ x³ + 3x² + mx = 0

   ⇔ x(x² + 3x + m) = 0 ⇔

   Để (C_m): y = x³ + 3x² + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0

   

   Gọi x₁, x₂là hai nghiệmcủa phương trình (*) khi đó tọa độ của D và E lần lượt có dạng D(x₁; 1); E(x₂; 1) thỏa mãn hệ thức Vi ét

   Ta có y' = 3x² + 6x + m

   Vì các tiếp tuyến với (C_m) tại D và E vuông góc với nhau nên ta có:

   y'(x₁ ).y'(x₂)=-1⇔ (3x₁² + 6x₁ + m)(3x₂² + 6x₂ + m) = -1

   ⇔ 9(x₁ x₂)² + 18x₁x₂(x₁ + x₂) + 3m[(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂] + 36x₁x₂ + 6m(x₁ + x₂) + m² = -1

   ⇔ 9m² -54m + 3m(9 - 2m) + 36m - 18m + m² = -1

   ⇔ 4m² -9m + 1 = 0 ⇔

   Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = (9 + √65)/8 và m = (9 - √65)/8