Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án - Toán lớp 12
Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án
Với Các dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 50 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập lượng giác của số phức từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
- 4 dạng bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải Xem chi tiết
- Viết số phức dưới dạng lượng giác Xem chi tiết
Cách viết số phức dưới dạng lượng giác
Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
*Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
* Cho số phức z = a+ bi, (a,b ∈ R) Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:
+ Tìm một acgumen của số phức z là φ
+ Tính môđun của số phức z: |z| = r =
.
+ Khi đó, ta có z = r.(cosφ + i.sinφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?
A. z = 6√2(cos
+ i.sin
)
B. z = 6(cos
+ i.sin
)
C. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
D. z = 3√2(cos
+ i.sin
)
Hướng dẫn:
Ta có: |z| = r = 
= 6√2
Chọn φ là số thực thoả mãn
⇒ φ =
.
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = 6√2(cos
+ i.sin
)
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?
A. 10.(cosπ + isinπ)
B. 10.(cos 0 + i.sin0)
C. 10√2(cos
+ i.sin
)
D. 10√2(cos
+ i.sin
)
Hướng dẫn:
Ta có: Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:
10.(cos0 + i.sin0).
Chọn B.
Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác
1. Phương pháp giải
Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và
z' = r'.(cosφ' + i.sinφ'); (r ≥ 0; r' ≤ 0)
Thì
z.z' = r.r'[cos(φ + φ') + i.sin(φ + φ')]
= 
.[cos(φ' - φ) + i.sin(φ' - φ)]; (r > 0)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 - i√3).(1 + i)
A. z = 2√2[cos(- 
) + i.sin(-
)]
B. z = 2[cos(-
) + i.sin(-
)]
C. z = 
[cos(-
) + i.sin(-
)]
D. Đáp án khác
Hướng dẫn:
Ta có:
1 - i√3 = 2.[cos(- 
) + isin(-
)]
1 + i = √2[cos
+ i.sin
]
Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta đuợc:
z = (1 - i√3)(1 + i)
= 2√2[cos(-
) + i.sin(-
)]
Chọn A.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 2[cos-
+ i.sin-
]
B. 2√2[cos
+ i.sin
]
C. √2[cos-
+ i.sin-
]
D. 
[cos
+ i.sin
]
Hướng dẫn:
Ta có: 2 + 2i = 2√2[cos
+ i.sin
]
Và 1 + √3i = 2.[cos
+ i.sin
]
Do đó: z =
= 
= √2[cos-
+ i.sin-
]
Chọn C.
Dạng 3: Công thức Moa-vro
1. Phương pháp giải
* Công thức Moa- vro
Cho số nguyên dương n ta có;
[r(cosφ + i.sinφ)]n = rn(cos(nφ) + i.sin(nφ))
Khi r = 1 ta có:
(cosφ + i.sinφ)n = cos(nφ) + i.sin(nφ)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)10
A. 25(cos
+ i.sin
)
B. 210(cos
+ i.sin
) .
C. 25(cos(-
) + i.sin(-
) )
D. 210(cos
+ i.sin
)
Hướng dẫn:
Ta có: √2 + √2i = 2.(cos
+ i.sin
)
Do đó,
z = (√2 + √2i)10 = [2.(cos
+ i.sin
)]10
= 210(cos
+ i.sin
)
= 210.(cos
+ i.sin
)
Chọn D.
Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z =
A. 
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
B.
(cos(-3π) + i.sin(-3π))
C.
(cos(2π) + i.sin(2π))
D.
(cos(-4π) - i.sin(-4π))
Hướng dẫn:
* Ta có:
1 - i = √2(cos(-
) + i.sin(-
))
⇒ (1 - i)10
= √210.[cos(-10.
) + i.sin(-10.
)]
= 25[cos(-
) + i.sin(-
)]
* Lại có:
√3 + i = 2(cos
+ i.sin
)
⇒ (√3 + i)9 = 29.(cos9.
+ i.sin9.
)
= 29.(cos
+ i.sin
)
* Do đó,
z =
= 
=
(cos(-4π) + i.sin(-4π))
Chọn A.
Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình:
z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0?
A. z = -1; z =
+ 
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
B. z = -1; z = 1 +
i ; z = - 1 -
i ; z =
-
i ; z = -
+
i .
C. z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
- √3i ; z = -
+ √3i.
D. z = -1; z = 1 + √3i ; z = -
-
i ; z = 1 - √3i ;
z = -
+
i .
Hướng dẫn:
Ta có: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
⇔ z4.(z + 1) + z2.(z + 1) + (z+ 1) = 0
⇔ ( z+1).(z4 + z2 + 1) = 0
⇔ 
Xét phương trình: z4 + z2 + 1 = 0 (*)
Đặt t = z2, khi đó phương trình (*) trở thành: t2 + t + 1 = 0 (**)
Có ∆ = 12 – 4.1.1 = - 3.
Khi đó, (**) có hai nghiệm phức là:
t =
⇒ z2 =
⇔ 
Từ z2 = cos
+ isin
⇒ 
Từ z2 = cos(-
) + isin(-
)
⇒ 
Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm:
z = -1; z =
+
i ; z = -
-
i ;
z =
-
i ; z = -
+
i .
Chọn A.
Ví dụ 2: Giải phương trình z6 + 64= 0 ?
A. √3 ± 2i; ±2i; -√3 ± i
B. √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
C. √3 ± i; ±2i; -√3 ± 2i
D. 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3
Hướng dẫn:
Ta có: : z6 + 64 = 0 ⇔ z6 = - 64.
+ Giả sử z = x + yi = r(cosφ + isinφ);
(x,y ∈ R)
⇒ z6 = r6.(cos6φ + isin6φ) (1)
+ Ta có: -64 = 64(cosπ + isinπ) và z6 = -64 (2)
Từ (1), (2)
⇒ r6(cos6φ + isin6φ)= 64(cosπ + isinπ)
⇒ r6 = 64 ⇒ r = 2( vì r > 0).
Và cos6φ + isin6φ = cosπ + isinπ
⇒ 6φ = π +2kπ (k ∈ Z)
⇒ φ =
+ 2k
Với k = 0 ⇒ z1 = 2(cos
+ isin
) = √3 + i
Với k = -1
⇒ z2 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = √3 - i
Với k = 1 ⇒ z3 = 2(cos
+ isin
) = 2i
Với k = -2
⇒ z4 = 2(cos(-
) + isin(-
)) = -2i
Với k = -3
⇒ z5 = 2(cos(- 
) + isin(-
)) = - √3 - i
Với k = 4
⇒ z6 = 2(cos
+ isin
) = - √3 + i
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm là: √3 ± i; ±2i; -√3 ± i
Chọn B ..
