Các dạng bài tập Tương giao của đồ thị hàm số chọn lọc, có đáp án - Toán lớp 12

---

Các dạng bài tập Tương giao của đồ thị hàm số chọn lọc, có đáp án

Với Các dạng bài tập Tương giao của đồ thị hàm số chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tương giao của đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

• 100 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có lời giải (cơ bản) Xem chi tiết
• 120 Bài tập Sự tương giao của đồ thị hàm số có lời giải (nâng cao) Xem chi tiết
• 5 dạng bài Sự tương giao của đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có lời giải Xem chi tiết
• Dạng 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số Xem chi tiết
• Trắc nghiệm Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số Xem chi tiết
• Dạng 2: Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị Xem chi tiết
• Trắc nghiệm Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị Xem chi tiết
• Dạng 3: Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện Xem chi tiết
• Trắc nghiệm Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện Xem chi tiết

Cách tìm giao điểm của đồ thị hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Bài toán tổng quát

Trong mặt phẳng (Oxy) hãy xét sự tương giao của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C₁) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C₂). Khi đó nếu M(x; y) là giao điểm của (C₁) và (C₂) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Phương trình (*)

f(x) = g(x)

được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C₁) và (C₂)

Nghiệm x_o của phương trình (*) chính là hoành độ điểm chung của (C₁) và (C₂)

Khi đó tung độ điểm chung là y_o = f(x_o) hoặc y_o=g(x_o)

Nếu (*) vô nghiệm thì (C₁) và (C₂) không có điểm chung

Nếu (*) có n nghiệm thì (C₁) và (C₂) có n điểm chung

2. Phương pháp chung

Để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C₁) và (C₂) ta có thể tiến hành theo các bước sau:

Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C₁) và (C₂) (tức phương trình (*))

Biến đổi phương trình này về dạng đơn giản hơn( thường thì sau khi biến đổi ta sẽ thu được phương trình bậc hai, bậc ba hoặc phương trình trùng phương…)

Dựa vào điều kiện của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện cho phương trình vừa biến đổi.

3. Bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số

Bài toán: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

    Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (1)

    Bước 2: Giải phương trình (1) tìm x ⇒ y

    Bước 3: Kết luận số giao điểm của (C₁) và (C₂) chính là số nghiệm của (1)

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x³ - 3x² + 2x + 1 và đường thẳng y = 1

   Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm x³ - 3x² + 2x + 1 = 1

⇔ x³ -3x² + 2x = 0 ⇔

Với x = 0 ⇒ y = 1

Với x = 1 ⇒ y = 1

Với x = 2 ⇒ y = 1

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (0; 1); (1; 1) và (2; 1)

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm giữa đồ thị y= (2x + 1)/(2x - 1) và đường thẳng d: y = x + 2

   Hướng dẫn

Phương trình hoành đô giao điểm (2x + 1)/(2x - 1) = x + 2 (1)

Điều kiện x ≠ 1/2

Khi đó (1) ⇔ 2x + 1 = (2x - 1)(x + 2) ⇔ 2x² + x - 3 = 0 ⇔

Với x = 1 ⇒ y = 3

Với x = -3/2 ⇒ y = 1/2

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (1; 3) và (-3/2; 1/2)

Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x⁴ + 2x² - 3 và trục hoành

   Hướng dẫn

Phương trình hoành độ giao điểm x⁴ + 2x² - 3 = 0 ⇔

   Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là A(-1; 0), B(1; 0)

Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp cô lập tham số m.

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F(x,m) = 0 (phương trình ẩn x, tham số m).

Bước 2: Cô lập m đưa phương trình về dạng f(m) = g(x)

Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x)

Bước 4: Dựa vào yêu cầu bài toán và bảng biến thiên từ đó suy ra m

Phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng của phương trình

Phương trình bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi Δ > 0

Phương trình có một nghiệm khi Δ = 0

Phương trình vô nghiệm khi Δ < 0

Phương trình bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d = 0(a ≠ 0)

Nếu đã dự đoán được phương trình có một nghiệm x=x_o ta có thể dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để phân tích thành nhân tử đưa về dạng bậc thấp hơn rồi tìm cách xử lý. Khi đó phương trình bậc ba tương đương với

Dựa vào yêu cầu bài toán, ta đi xử lý phương trình bậc hai f(x).

Nếu không nhẩm được nghiệm và không cô lập được m thì bài toán được giải quyết theo hướng tích hai cực trị, cụ thể:

Đồ thị cắt trục hoành đúng ba điểm phân biệt ⇒ y_CT.y_CĐ < 0

Đồ thị có hai điểm chung với trục hoành ⇒ y_CT.y_CĐ = 0

Đồ thị có một điểm chung với trục hoành ⇒ y_CT.y_CĐ > 0 hoặc hàm số không có cực trị.

Phương trình bậc bốn trùng phương y=ax⁴ + bx² + c = 0(a ≠ 0)(1)

Đặt t = x² (t ≥ 0). Phương trình trở thành at² + bt + c = 0 (2)

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t₁,t₂ thỏa mãn

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t₁,t₂ thỏa mãn

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t₁,t₂ thỏa mãn 0=t₁ < t₂

Để (1) có đúng một nghiệm thì (2) có hai nghiệm t₁,t₂ thỏa mãn 0 < t₁ < t₂

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình y = x⁴ -2x² - m + 3 (1) có bốn nghiệm phân biệt

Hướng dẫn:

Đặt t = x² (t > 0), phương trình (1) trở thành t² - 2t - m + 3 = 0 (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. Khi đó

Vậy giá trị m cần tìm là 2 < m < 3

Lưu ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp dùng đồ thị như sau:

Phương trình y = x⁴ - 2x² - m + 3 ⇒ x⁴ - 2x² + 3 = m (1)

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường (C): y = x⁴ - 2x² + 3 và đường thẳng d: y = m. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và d

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số : y = x⁴ -2x² + 3

Tập xác định D = R

Đạo hàm y' = 4x³ - 4x; y' = 0⇒

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (1) có bốn nghiệm phân biệt ⇒ 2 < m < 3

Vậy 2 < m < 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx³ - x² - 2x + 8m có đồ thị (C_m). Tìm m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: mx³ - x² - 2x + 8m = 0

⇒ (x + 2)[mx² - (2m + 1)x + 4m] = 0

(C_m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ⇒ phương trình mx² - (2m + 1)x + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -2.

Vậy giá trị m cần tìm là

Ví dụ 3: Cho hàm số y= (2x - 1)/(x - 1) có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng (d):y = -x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành đô giao điểm (2x - 1)/(x - 1) = -x + m (1)

Điều kiện x ≠ 1

Khi đó (1) ⇒ 2x - 1 = (-x + m)(x - 1) ⇒ x² - (m - 1)x + m - 1 = 0 (2)

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇒ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

⇒ m² -6m+5>0

Vậy giá trị m cần tìm là m < 1 hoặc m > 5

Tìm m để giao điểm của hai đồ thị thoả mãn điều kiện

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Về phương trình

Phương trình bậc hai y = ax² + bx + c(a ≠ 0)

- Định lí Viette: Nếu phương trình có hai nghiệm x₁ , x₂ thì ta có:

   - Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   - Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

   - Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

   - Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác x_o khi và chỉ khi

   - Các công thức cần nhớ

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm: Với 2 điểm A(x₁ , y₁) và B(x₂ , y₂) tùy ý ta có:

AB=√((x₂ -x₁ )² +(y₂ - y₁)² )

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho trước: Khoảng cách từ điểm M(x_o , y_o) đến đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 được tính theo công thức

d(M,Δ)= |Ax_o + By_o + C|/√(A² + B² )

Diện tích tam giác: Trong một tam giác bất kỳ, ta có:

S = (1/2)ah_a = (1/2)bh_b = (1/2)ch_c = abc/4R = pr

Trong đó:

    a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác và p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi.

    h_a, h_b, h_c là độ dài của đường cao tương ứng với các cạnh a,b,c.

    R,r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác.

    Phương trình đường thẳng Δ đi qua A(a; b) và có hệ số góc k cho trước có dạng y = k(x - a) + b

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x⁴ - (3m + 2)x² + 3m (m là tham số) có đồ thị (C_m). Tìm m để đường thẳng d:y=-1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C_m) và đường thẳng d

x⁴ - (3m + 2)x² + 3m = -1 ⇔ x⁴ - (3m + 2)x² + 3m + 1 = 0 ⇔

Để d cắt (C_m) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi

Vậy tập hợp các giá trị của tham số m cần tìm là m = (-1/3; 1)\\{0}

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C):y = (mx - 1)/(x + 2) và đường thẳng d: y = 2x - 1. Xác định giá trị của tham số m để (C) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB=√10

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm (mx - 1)/(x + 2) = 2x - 1 (1)

Điều kiện x ≠ -2

Khi đó (1) ⇔ mx - 1 = (2x - 1)(x + 2)

⇔ 2x² - (m - 3)x - 1 = 0 (2)

(d) cắt (C_m) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác -2

Đặt A(x₁ ; 2x₁ - 1); B(x₂ ; 2x₂ - 1) với x₁ ,x₂ là hai nghiệm của phương trình (2)

Theo định lí Vi ét ta có

Khi đó AB = √((x₁ - x₂)² + 4(x₁ - x₂)² ) = √10 ⇔ 5[(x₁ + x₂ )² - 4x₁ x₂ ] = 10

⇔ ((m - 3)/2)² + 2 = 2

⇔ m = 3 (thỏa mãn)

Vậy giá trị cần tìm là m = 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x³ - 2x² + (1 - m)x + m có đồ thị (C_m). Xác định tất cả các giá trị của tham số m để (C_m) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x₁ ,x₂ ,x³ thỏa mãn x₁² +x₂² +x³² =4.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

x³ - 2x² +(1 - m)x + m = 0 ⇔ (x - 1)(x² - x - m) = 0

(C_m) cắt Ox tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Gọi x₁ = 1 còn x₂ ,x³ là nghiệm phương trình g(x) = 0 nên theo Viet ta có

Vậy x₁² + x₂² + x³² = 4 ⇔ 1+(x₂ +x³)² -2x₂ x³=4

⇔ 1 + 1² + 2m = 4 ⇔ 2m - 2 = 0 ⇔ m = 1