Các dạng bài tập tìm Tập hợp điểm biểu diễn số phức cực hay - Toán lớp 12

---

Các dạng bài tập tìm Tập hợp điểm biểu diễn số phức cực hay

Với Các dạng bài tập tìm Tập hợp điểm biểu diễn số phức cực hay Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 50 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm Tập hợp điểm biểu diễn số phức từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

• 5 dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức trong đề thi Đại học có lời giải Xem chi tiết
• Dạng 1: Điểm biểu diễn số phức Xem chi tiết
• Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng Xem chi tiết
• Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn Xem chi tiết
• Dạng 4: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một miền Xem chi tiết
• Dạng 5: Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip Xem chi tiết

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

Ví dụ 1:Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - (1 + i)| = |z + 2i| là đường nào sau đây ?

A. Đường thẳng.        B. Đường tròn.        C. Elip.        D. Parabol.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi, (x;y ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M(x;y) trong mặt phẳng Oxy.

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x + 3y + 1 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 2:Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện

A. Tập hợp những điểm Mlà đường thẳng có phương trình 4x + 2y + 3 = 0.

B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x - 2y + 3 = 0.

C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x + 4y - 3 = 0.

D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x + 4y + 3 = 0.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi,(x;y ∈ R)

Ta có:

<=>|x + (y-2)i| = |(x+1) - yi|

<=> x² + (y - 2)² = (x + 1)² + y²

<=> 2x + 4y - 3 = 0

Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2x + 4y - 3 = 0.

Chọn C.

Ví dụ 3:Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z -2 + 3i| = |z-4i| là đường nào sau đây ?

A. Đường thẳng.        B. Đường tròn.        C. Elip.        D. Parabol.

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi, được biểu diễn bởi điểm M(x;y) trong mặt phẳng Oxy.

Ta có: |z -2 + 3i| = |z - 4i| <=> |x + yi -2 + 3i| = |x + yi - 4i|

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng -4x + 14y -3 = 0.

Chọn A.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn

Ví dụ 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức |z -2 + 5i| = 4 thoả mãn là:

A. Đường tròn tâm I(2 ; -5) và bán kính bằng 2.

B. Đường tròn tâm I(-2 ; 5) và bán kính bằng 4.

C. Đường tròn tâm I(2 ; -5) và bán kính bằng 4.

D. Đường tròn tâm O và bán kính bằng 2.

Hướng dẫn:

.Gọi số phức z = x + yi

|z -2 + 5i| = 4 <=> |x - 2 + (y + 5)i| = 4

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm I(2; -5) bán kính R = 4.

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn |z - 2| = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (1-i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó

A.2√2        B.r = 4        C.r = √2        D.r = 2

Hướng dẫn:

Ta có:

Ta có:

Đường tròn có bán kính là

Chọn A.

Ví dụ 3:Cho số phức z thỏa mãn |z -1| = 2 ; w = (1 + √3i)z + 2 .Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn, tính bán kính đường tròn đó

A. R = 3        B. R = 2        C. R = 4        D. R = 5 .

Hướng dẫn:

w = (1 + √3i)z + 2 <=> w = (1 + √3i)(z -1) + 1 + √3i + 2

<=> w - (3 + √3i) = (1 + √3i)(z-1)

=> |w - (3 + √3i) | = | (1 + √3i)(z-1)| = |(1 + √3i)| |(z-1)| = 4

Chọn C.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một miền

Ví dụ 1:Cho số phức z = a + bi. Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải (- 2; 2), ở hình 1, điều kiện của a và b là:

A.a,b ∈ (-2,2) . B.a ∈ (-2,2) ; b ∈ R .

C.a ∈ R;b ∈ (-2,2) . D.a,b ∈ [-2,2] .

Hướng dẫn:

Các số phức trong dải đã cho có phần thực trong khoảng (-2;2), phần ảo tùy ý

Đáp án B.

Ví dụ 2:Số phức z thỏa mãn điều nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần gạch chéo như trên hình.

A. Số phức z = a + bi ; |z| ≤ 2 ; a ∈ [-1;1] .

B. Số phức z = a + bi ; |z| ≤ 2 ; a ∉ [-1;1] .

C. Số phức z = a + bi ; |z| < 2 ; a ∈ [-1;1] .

D. Số phức z = a + bi ; |z| ≤ 2 ; b ∈ [-1;1] .

Hướng dẫn:

Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp các điểm M(a; b) biểu diễn số phức z trong phần gạch chéo đều thuộc đường tròn tâm O(0;0) và bán kính bằng 2; ngoài ra -1 ≤ a ≤ 1

Vậy M(a; b) là điểm biểu diễn của các số phức z = a + bi có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 2 và có phần thực thuộc đoạn [-1;1].

Chọn A.

Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, số phức z thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức thuộc phần tô màu như hình vẽ

A. 1 ≤ |z| ≤ 2 và phần ảo dương.

B. 1 ≤ |z| ≤ 2 và phần ảo âm.

C. 1 < |z| < 2 và phần ảo dương.

D. 1 < |z| < 2 và phần ảo âm.

Hướng dẫn:

Ta thấy phần tô màu là nửa dưới trục hoành của hình vành khăn được tạo bởi hai đường tròn đồng tâm O(0 ;0) và bán kính lần lượt là 1 và 2

Vậy đây chính là tập hợp các điểm M(x ;y) biểu diễn cho số phức z = x + yi trong mặt phẳng phức với 1 ≤ |z| ≤ 2 và có phần ảo âm.

Chọn B.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip

Phương pháp giải

+ Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F₁;F₂, với F₁F₂ = 2c (c > 0). Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F₁;F₂, được gọi là tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của Elip.

+ Phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F₁ (c;0);F₂ (-c;0) :

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn |z - 4| + |z + 4| = 10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô – đun của số phức z là

A.10 và 4        B. 5 và 4        C. 4 và 3        D. 5 và 3.

Hướng dẫn:

Giải theo tự luận

Cách 1: Giả sử z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x ;y) . Giả sử F₁ (4;0); F₂ (0;-4) khi đó tập hợp các điểm M thỏa mãn là MF₁ + MF₂ = 10 là đường elip có các tiêu điểm là F₁;F₂, và trục lớn bằng 10.

Từ đó ta tìm được 2c = F₁F₂ = 8 <=> c = 4 .

2a = 10 nên a = 5

suy ra b² = a² - c² = 25 - 16 - 9 => b = 3 .

Từ đó

Vì M di động trên (E) nên z = |OM| lớn nhất, nhỏ nhất khi OM lần lượt là độ dài nửa bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ. Hay max |z| = 5 ; min|z| = 3 .

Chọn D.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng |A| + |B| ≥ |A+B| suy ra

10 = |z - 4| + |z + 4| ≥ |(z - 4) + (z + 4)| = |2z| = 2|z| > |z| ≤ 5. Vậy |z| = 5 .

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Hướng dẫn:

Giả sử z = a + bi, khi đó , giả thiết của bài toán là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a; b) thuộc miền trong của elip (kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Chọn A.

Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z² là số thuần ảo là hai đường thẳng d₁;d₂ . Góc giữa 2 đường thẳng d₁;d₂ là bao nhiêu?

A.α = 45^o . B.α = 60^o . C.α = 90^o . D.α = 30^o .

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có: z² = (x² - y²) + 2xyi là số thuần ảo =>

x² - y² = 0 ∧ xy ≠ 0 => y = ± x => α = 90^o

Chọn C.