Các dạng bài tập Phương trình mũ chọn lọc, có đáp án - Toán lớp 12

---

Các dạng bài tập Phương trình mũ chọn lọc, có đáp án

Với Các dạng bài tập Phương trình mũ chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 100 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Phương trình mũ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

• 6 dạng bài tập Phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Xem chi tiết
• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa Xem chi tiết
• Trắc nghiệm Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa Xem chi tiết
• Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ Xem chi tiết
• Trắc nghiệm phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ Xem chi tiết
• Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ Xem chi tiết
• Trắc nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ Xem chi tiết
• Giải phương trình mũ chứa tham số Xem chi tiết

Bài tập trắc nghiệm

• Bài tập hàm số mũ và logarit nâng cao Xem chi tiết
• 200 bài tập trắc nghiệm Hàm số mũ, lũy thừa, Lôgarit có lời giải (cơ bản) Xem chi tiết
• 200 bài tập trắc nghiệm Hàm số mũ, lũy thừa, Lôgarit có lời giải (nâng cao) Xem chi tiết

Phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp lôgarit hóa

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Phương trình mũ cơ bản.

    Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = m        (1).

        Nếu m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = log_am.

        Nếu m ≤ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.

2. Phương pháp đưa về cùng cơ số.

    Với a > 0 và a ≠ 1 ta có a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x).

3. Phương pháp lôgarit hoá.

        a^f(x) = b ⇔ f(x) = log_ab

        a^f(x) = b^g(x) ⇔ f(x) = g(x)log_ab

        log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 2: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Bài 3: Giải phương trình sau

Hướng dẫn:

Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình mũ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

    Ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ.

Các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

Dạng 1: Phương trình α_k + α_k-1 a^(k-1)x + ... + α₁ a^x + α⁰ = 0

        Khi đó ta đặt t = a^x điều kiện t > 0, ta được α_k t^k + α_k-1 t^k-1 + ... + α₁ t + α₀ = 0

        Mở rộng: Nếu đặt t = a^f(x) , điều kiện hẹp t > 0.

       

Dạng 2: Phương trình α₁ a^x + α₂ a^x + α₃ = 0 với a.b = 1

       

        Mở rộng: Với a.b = 1 thì khi đặt t = a^f(x), điều kiện hẹp t > 0, suy ra

Dạng 3: Phương trình α₁ a^2x + α₂ (a.b)^x + α₃ b^2x = 0 khi đó chia hai vế của phương trình cho b^2x > 0 (hoặc a^2x, (a.b)^x), điều kiện t < 0, ta được

        , điều kiện t < 0 , ta được α₁ t² + α₂ t+α₃ = 0

        Mở rộng: Với phương trình mũ có chứa các nhân tử: a^2f, b^2f, (a.b)^2f, ta thực hiện theo các bước sau:

            + Chia 2 vế của phương trình cho b^2f > 0 (hoặc a^2f,(a.b)^f)

            + Đặt điều kiện hẹp t > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình 9^x-5.3^x+6=0

Hướng dẫn:

Đặt t=3^x (t > 0), khi đó phương trình đã cho tương đương với

Bài 2: Giải phương trình sau: (7+4√3)^x-3(2-√3)^x+2=0

Hướng dẫn:

Nhận xét rằng 7+4√3=(2+√3)²; (2+√3)(2-√3)=1

Do đó nếu đặt t=(2+√3)^x điều kiện t > 0 thì (2-√3)^x=1/t và (7+4√3)^x = t²

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có nghiệm x=0

Bài 3: Giải phương trình sau: (√2-1)^x+(√2+1)^x-2√2=0

Hướng dẫn:

Đặt t=(√2+1)^x ta có phương trình đã cho tương đương:

Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Hướng 1:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x)=k.

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu

    • Bước 3. Nhận xét:

        + Với x = x₀ ⇔ f(x) = f(x₀) = k do đó x = x₀ là nghiệm.

        + Với x > x₀ ⇔ f(x) > f(x₀) = k do đó phương trình vô nghiệm.

        + Với x < x₀ ⇔ f(x) < f(x₀) = k do đó phương trình vô nghiệm.

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x₀ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.

    • Bước 3. Xác đinh x₀ sao cho f(x₀) = g(x₀ .

    • Bước 4. Kết luận vậy x = x₀ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3:

    • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).

    • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.

    • Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình x+2.3^{log₂ x} = 3 (*).

Hướng dẫn:

Ta có: (*) ⇔ 2.3^log₂x = 3-x (1).

Nhận xét:

    + Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến.

    + Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến.

Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất.

Mặt khác: x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1}.

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

⇒ x² - 3x + 2 = u² ⇒ 3x - x² - 1 = 1 - u².

Khi đó phương trình (*) có dạng

Xét hàm số:

    + Miền xác định: D = [0;+∞).

    + Đạo hàm ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.

Mặt khác f(1) = log₃ (1+2) + (1/5).5 = 2.

Do đó, phương trình (1) được viết dưới dạng

Bài 3: Giải phương trình 2^x2-x + 9^3-2x + x² + 6 = 4^2x-3 + 3^{x - x2} + 5x (*).

Hướng dẫn:

Ta có: (*) ⇔ 2^x2-x + 3^6-4x + x² + 6 = 2^4x-6 + 3^x-x2 + 5x.

        ⇔ 2^x2-x + x² - x - 3^x-x2 = 2^4x-6 + 4x - 6 - 3^6-4x.

ta được 2^u + u - 3^-u = 2^v + v - 3^-v.

Xét hàm số:

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Ta có phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={1;6}.