Các dạng bài tập Hình nón, khối nón chọn lọc, có đáp án - Toán lớp 12

Các dạng bài tập Hình nón, khối nón chọn lọc, có đáp án

Với Các dạng bài tập Hình nón, khối nón chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 50 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hình nón, khối nón từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

• Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay Xem chi tiết
• Lý thuyết Hình nón, khối nón Xem chi tiết
• Dạng 1: Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón Xem chi tiết
• Dạng 2: Thiết diện của hình nón Xem chi tiết
• Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón cực hay Xem chi tiết
• Cách giải dạng bài tập thiết diện của hình nón cực hay Xem chi tiết
• Dạng bài tập về hình nón tròn xoay cực hay, có lời giải Xem chi tiết

Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:

    + Diện tích xung quanh: S_xq = πRl

    + Diện tích đáy (hình tròn): S_đ = πR²

    + Diện tích toàn phần hình tròn: S = S_đ + S_xq = π.r.l+πr²

    + Thể tích khối nón:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón trên.

Hướng dẫn:

Xét tam giác SOA có: h=SO=3a;r=AO=4a

Diện tích xung quanh: S_xq=πRl=π.4a.5a=20πa²

Diện tích toàn phần: S_tp= πRl+πR²=20πa²+25πa²=45πa²

Thể tích của hình nón là:

Bài 2: Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. Tính diện tích xung quanh của hình nón

Hướng dẫn:

Xét tam giác SOA vuông tại O có:

Diện tích xung quanh:

Bài 3: Một khối nón có thể tích bằng 30 π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

là thể tích của khối nón ban đầu

⇒ Thể tích của khối nón lúc sau là:

Cách xác định Thiết diện của hình nón

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Hướng dẫn:

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là tam giác SAB, ∆SAB đều cạnh 2a.

S_xq = πRl = π.a.2a = 2πa²

Bài 2: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2. Tính thể tích khối nón.

Hướng dẫn:

Thiết diện thu được khi cắt hình nón bằng mặt phẳng đi qua trục là tam giác SAB

⇒∆SAB vuông cân tại S, có AB = a√2

Thể tích khối nón là:

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 3cm và góc ở đỉnh bằng 90°. Cắt hình nón bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích thiết diện

Hướng dẫn:

Dựng hình như hình bên với (α) là (SAC).

    + ∆SAB vuông cân tại S

    + Kẻ OP ⊥ AC

Ta có: OP ⊥ AC; SO ⊥ AC ⇒ SP ⊥ AC

Khi đó, góc giữa (SAC) và đáy là góc giữa SP và OP

⇒ ∠(SPO) = 60º

Xét ∆SPO vuông tại O có:

Ta có:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình nón, tính thể tích khối nón

1. Phương pháp giải

Cho hình nón (H) có bán kính đường tròn đáy là R và độ dài đường sinh là l.

+ Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích số của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:
S_xq = πR.l

+ Diện tích toàn phần của hình nón bằng tổng diện tích xung quanh và diện đáy:
S_tp = πR.l + πR²

+ Thể tích khối nón bằng một phần ba tích số diện tích hình tròn đáy và chiều cao:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S; O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60⁰.Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón lần lượt là?

Hướng dẫn giải:

Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là
= 60⁰ .

Trong tam giác vuôn SAO, ta có:

Diện tích xung quanh hình nón là:
S_xq = πRl = π. .a√2 = πR²

Thể tích của khối nón tròn xoay
(đvtt)

Chọn A

Ví dụ 2. Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3 , góc ở đỉnh là 120⁰. Tính thể tích của khối nón đó theo a.

A.    B. πa³    C.    D. 2πa³

Hướng dẫn giải:

Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy.

Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính là:

Do góc ở đỉnh là 120⁰ nên

Xét tam giác SAO vuông tại O, ta có:
SO = = a

Do đó chiều cao hình nón là h = SO= a.

Vậy thể tích khối nón là
V = πr²h = π.3a².a = πa³

Chọn B.

Ví dụ 3. Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa² . Thể tích khối nón là:

A.    B.    C. 2πa³    D. √2πa³

Hướng dẫn giải:

Ta có độ dài đường sinh là l = 2a .

Do diện tích xung quanh là 2πa² nên :

S_xq = π.R.l = 2πa² ⇒ R = = a

Chiều cao của hình nón là:
h = = √3a

Thể tích của khối nón là
V = πR²h = π.a².√3 =

Chọn A.