Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a2. Hình chiếu của

Câu hỏi:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a $\sqrt{2}$ . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BC, SH = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. BHD.

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{17}}{4}$

D. $\frac{a \sqrt{11}}{4}$

Trả lời:

Chọn B

Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. BHD và tam giác BHD.

Ta có HB= $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ , $H D = \sqrt{H C^{2} + D C^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}, B D = \sqrt{a^{2} + 2 a^{2}} = a \sqrt{3}$

Áp dụng định lí Cô sin, ta có

$\cos \hat{B H D} = \frac{\frac{a^{2}}{2} + \frac{3 a^{2}}{2} - 3 a^{2}}{2 . \frac{a \sqrt{2}}{2} \frac{a \sqrt{6}}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \sin \hat{B H D} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Diện tích tam giác BHD là

$S_{∆ B H D} = \frac{1}{2} . B H . H D . \sin \hat{B H D} = \frac{1}{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{6}}{2} . \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

Do đó $r = \frac{H B . H D . B D}{4 S} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a \sqrt{6}}{2} . a \sqrt{3}}{4 . \frac{a \sqrt{2}}{4}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD và M là trung điểm SH. Mặt phẳng trung trực của SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD tại E. Khi đó E là tâm mặt cầu cần tìm.

Ta có: $R = \sqrt{r^{2} + M H^{2}} = \sqrt{r^{2} + \frac{S H^{2}}{4}} = \sqrt{\frac{9 a^{2}}{8} + \frac{a^{2}}{8}} = \frac{\sqrt{5} a}{2}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB=1; AC=2. Hình chiếu vuông góc của A' trên (ABC) nằm trên đường thẳng BC. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC).

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho khối lăng trụ ABC. A'B'C' có thể tích bằng 2018. Gọi M là trung điểm AA' ; N, P lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BB', CC' sao cho BN=2B'N, CP=3C'P. Tính thể tích khối đa diện ABC. MNP.

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tính thể tích của khối tứ diện MNPQ.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A'B'C'.

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ , OB=OC=a. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối tứ diện OABH.

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O và O' lần lượt là tâm các hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh B'C' và CD. Tính thể tích khối tứ diện OO'MN.

Xem lời giải »

Câu 7:

Xét khối lăng trụ tam giác ABC. A'B'C'. Mặt phẳng đi qua C' và các trung điểm của AA', BB' chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số thể tích bằng:

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a2. Hình chiếu của

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: