Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB=3a, BC=a

Câu hỏi:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB=3a, BC=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy; SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60⁰. Tính thể tích V của khối chóp đã cho

A. $\mathrm{V}=\sqrt{60}{\mathrm{a}}^3$

B. $\mathrm{V}=3\sqrt{20}{\mathrm{a}}^3$

C. $\mathrm{V}=\sqrt{30}{\mathrm{a}}^3$

D. $\mathrm{V}=3{\mathrm{a}}^3$

Trả lời:

Đáp án C

Xét $∆ABC$ vuông tại B, ta có: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{10}a$

Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AC$, do đó AC là hình chiếu của SC xuống mặt phẳng (ABCD) 

$\Rightarrow \widehat{\left(SC;\left(ABCD\right)\right)}=\widehat{SCA}=60°$

Xét $∆SAC$ vuông tại A, ta có: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}\Rightarrow SA=AC.\tan \widehat{SCA}=\sqrt{10}a.\tan 60°=\sqrt{30}a$

Thể tích hình chóp SABCD là: $V_{SABCD}=\frac{1}{3}.S_{ABCD}.SA=\frac{1}{3}.3a^2.\sqrt{30}a=\sqrt{30}{a}^3$