Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết - Toán lớp 12

---

Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết

Tài liệu Lý thuyết hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa chi tiết Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lũy thừa từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.

§ 1: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ

I – LÝ THUYẾT

    1.Lũy thừa với số mũ nguyên

   a/ Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm

   +Định nghĩa: với a ≠ 0 ; n=0 hoặc n là một số nguyên âm; lũy thừa bậc n của a là số aⁿ an xác định bởi : a⁰=1;

    + Chú ý:

   Các kí hiệu 0⁰; 0ⁿ ( n nguyên âm ) không có nghĩa.

   Với a ≠ 0 và n nguyên ta có:

   Người ta hay dùng các lũy thừa của 10 với số mũ nguyên để biểu thị những số rất lớn và những số rất bé.

    b/ Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

    Quy tắc tính

    + Định lí 1: Với a ≠ 0; b ≠ 0 và các số nguyên m; n ta có:

   1/ a^m.aⁿ=a^m+n

   2/

   3/ (a^m)ⁿ=a^m.n

   4/ (ab)ⁿ= aⁿ.bⁿ

   5/

    So sánh các lũy thừa

    + Định lí 2: cho m; n là các số nguyên. Khi đó:

   - Nếu a > 1 thì ;

   - Nếu 0 < a < 1 thì .

    Hệ quả 1:

   - Với mọi 0< a< b,và m là số nguyên thì:

   

    Hệ quả 2: với a < b; n là số tự nhiên lẻ thì aⁿ < bⁿ

    Hệ quả 3: với a; b là các số dương; n là một số nguyên khác 0 thì:

   aⁿ= bⁿ khi và chỉ khi a=b.

   2. Căn bậc n và lũy thừa với số mũ hữu tỉ

    a/ Căn bậc n

    + Định nghĩa:

   Với n nguyên dương; căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn=a

    + Chú ý:

   Với n lẻ và với mỗi số thực a có duy nhất một căn bậc n của a kí hiệu là .

   -Với n chẵn:

   a > 0 Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu là , căn có giá trị âm kí hiệu là .

    Một số tính chất của căn bậc n

   - Với hai số không âm a ; b ; hai số nguyên dương m ; n và 2 số nguyên p ; q tùy ý, ta có:

   

   b/ Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

   Định nghĩa : Cho a là số thực dương và r là 1 số hữu tỉ. Giả sử ; trong đó m là số nguyên và n là số nguyên dương. . khi đó lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi :

§ 2 : Lũy thừa với số mũ thực

   1. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

   Định nghĩa : cho a là 1 số thực dương và α là 1 số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ r₁ ; r₂...r_n ..mà lim r_n= α. Khi đó dãy số thực có giới hạn xác định ( không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ (r_n) đã chọn ). Ta gọi giới hạn đó là lũy thừa của a với số mũ α ; kí hiệu là a^α

   Vậy a^α = .

   Ghi nhớ :

   1/ khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.

   2/ khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.

   2. Công thức lãi kép

   Gửi tiền vào ngân hàng ; ngoài thể thức lãi đơn ( tức là tiền lãi của kì trước không được tính vào vốn của kì tiếp theo ; nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra) ; còn có thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này ; nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được cả vốn lẫn lãi là :

§ 3 : Logari

   1.Định nghĩa:

   Cho hai số dương a; b vớ i a ≠ 1. Số thực thỏa mãn đẳng thức a^α =b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab .

   Ta viết:

   Chú ý:

   1/ Không có logarit của số 0 và số âm vì a^α luôn dương với mọi α.

   2/ Cơ số của logarit phải dương và khác 1.

   3/ Theo định nghĩa logarit ta có:

   + log_a1=0; log_aa=1

   + log_aaa^b=b với mọi số thực b.

    +

   2.Các tính chất

   a/ so sánh hai logarit cùng cơ số.

   Định lí 1 : cho số dương a khác 1 và các số dương b ; c.

   1/ Khi a> 1 thì logab>logac b>c.

   2/ khi 0<a<1 thì logab>logac b<c.

   Hệ quả :

   Cho số dương a khác 1 và các số dương b ; c

   1/ khi a> 1 thì loga b> 0 khi b>1.

   2/ khi 0<a<1 thì log ab> 0 khi b<1

   3/ logab = log ac khi và chỉ khi b=c

   b/ Các quy tắc tính logarit

   Định lí 2 :

   Với a > 0, a ≠ 1, b, c > 0, ta có:

   

    Hệ quả:

    Với a ; b>0 ; a khác 1 và số nguyên dương n ta có :

   

   3. Đổi cơ số của logarit

    Định lí : Cho 3 số dương a ; b ; c với a ≠ 1 ; c ≠ 1, ta có

   • hay log_ca.log_ab=log_cb

   Hệ quả 1 : Với a ; c là hai số dương khác 1 ta có

    hay log_ac.log_ca=1

    Hệ quả 2 : Với a là số dương khác 1 ; c là số dương và α ≠ 0 ta có :

   

   4 . Logarit thập phân và ứng dụng

   Định nghĩa :

   Logarit cơ số 10 của 1 số dương x được gọi là logarit thập phân của x và kí hiệu là log x ( hoặc là lg x)

§4 : Số e và logarit tự nhiên

   1 . Lãi kép liên tục và số e

   Ta đã biết : khi gửi ngân hàng với số vốn ban đầu là A lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm số tiền thu về là A( 1+r) ^N

   Giả sử chia mỗi năm thàn h m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r thì lãi suất mỗi kì là r/ m và số tiền thu được sau N năm ( hay sau Nm kì) là

   Xét ; giới hạn trên tồn tại và là 1 số vô tỉ có giá trị là 2,718281828..

   Được kí hiệu là e. Vậy :

   Từ đó suy ra lim Sm= AeNr.

   Thể thức tính lãi khi m → +∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục .

   Như vậy ; với số vốn ban đầu là A ; theo thể thức lãi kép liên tục ; lãi suất mỗi năm là r thì sau N năm số tiền thu được cả vốn lẫn lãi sẽ là : S= Ae^Nr

   Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.

   2. Logarit tự nhiên

   Định nghĩa : Lô garit cơ số e của một số dương a được gọi là logarit tự nhiên m ( hay logarit Nê-pe) của số a và được kí hiệu là lna.

   + logarit tự nhiên có đầy đủ các tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.

§ 5 : HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

   1.Khái niệm hàm số mũ và hàm số logarit

   Định nghĩa :

   Giả sử a là số dương và khác 1.

   Hàm số dạng y= a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

   Hàm số dạng y= log_ax được gọi là hàm sỗ logarit cơ số a.

   2. Một số giới hạn liên quan đến hàm số mũ ; hàm sỗ logarit

   Định lí 1 :

   

   3.Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

   a. Đạo hàm của hàm số mũ.

   Định lí 2

   a/ cho hàm số y= a^x có đạo hàm tại mọi số thực x và

   (a^x)’= a^x. Lna

   Đặc biệt ( e^x)’= e^x

   b/ Nêú hàm số u= u(x) có đạo hàm trên J thì hàm số y= a^u(x) có đạo hàm trên J và

   ( a^u(x) )’= u’(x) .a^u(x) . lna

   Đặc biệt: (e^u(x) )’= u’(x).e^u(x)

   b. Đạo hàm của hàm số logarit.

   a. Hàm số y= log_ax có đạo hàm tại mọi x > 0 và

   

   Đặc biệt

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số y= log_au(x) có đạo hàm trên J và

   

   Đặc biệt ta có:

   Hệ quả

   a.

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị khác 0 và có đạo hàm trên J thì: với mọi x∈J.

   4.Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit

    a.Hàm số mũ y= a^x (a > 0; a ≠ 1).

    • Tập xác định: D = R.

   • Tập giá trị: T = (0; +∞).

   • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

   Có đồ thị:

   + Đi qua điểm (0;1)

   + Nằm phía trên trục hoành.

   +Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

   • Hình dạng đồ thị:

   

   b. Hàm số logarit y= log_ax (a > 0; a ≠ 1)

   • Tập xác định: D = (0; +∞).

    • Tập giá trị: T = R.

   • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.

   • có đồ thị:

   + Đi qua điểm (1; 0)

   + Nằm ở bên phải trục tung

   +Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

   • Hình dạng đồ thị:

   

§6: HÀM SỐ LŨY THỪA

    1.Khái niệm hàm số lũy thừa

   Hàm số có dạng y= x^α với α là một hằng số tùy ý được gọi là hàm số lũy thừa.

   Nhận xét:

    Tập xác định của hàm số y= x^α là:

   + D= R nếu α là số nguyên dương.

   + D= R\{0} với α nguyên âm hoặc bằng 0

   + D= (0; +∞) với α không nguyên.

   2.Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

   Định lí:

   a. Hàm số lũy thừa y= x^α với mọi α có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và :

   

   b. Nếu hàm số u= u(x) nhận giá trị dương có đạo hàm trên J thì hàm số y= u^α(x) cũng có đạo hàm trên J và

   

   Chú ý

   a. đạo hàm của hàm số căn bậc n

   

   ( với mọi x> 0 nếu n chẵn và với mọi x ≠ 0 nếu n lẻ).

   b. Nếu u= u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0 mọi x∈J khi n lẻ thì:

   

   4. Vài nét về sự biến thiên và đồ thị của hàm số lũy thừa

A. Tập khảo sát: (0;+∞)	A. Tập khảo sát: (0;+∞)
B. Sự biến thiên:         Giới hạn đặc biệt:        Tiệm cận: Không có	B. Sự biến thiên:         Giới hạn đặc biệt:        Tiệm cận:    Trục là tiệm cận ngang.    Trục là tiệm cận đứng.
C. Bảng biến thiên:	C. Bảng biến thiên:
D. Đồ thị:    Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I(1;1)    Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó. Chẳng hạn: y = x3, y = x-2, y = xπ.

§7: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

   1.Phương trình mũ cơ bản:

   + Phương trình mũ cơ bản có dạng a^x =m trong đó m là số đã cho.

   - Nếu m ≤ 0 thì phương trình a^x =m vô nghiệm.

   - Nếu m > 0 thì phương trình a^x= m có 1 nghiệm duy nhất x= log_am. Nói cách khác

   

   + Phương trình loarit cơ bản có dạng log_ax=m; trong đó m là số đã cho.

   - Với mỗi giá trị của m ; phương trình log_ax= m luôn có 1 nghiệm duy nhất x=a^m. Nói cách khác.

   

   2. Một số phương pháp giải phương trình mũ

    a) Đưa về cùng cơ số:

    Với a > 0, a ≠ 1:

   Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì :

   a^m= aⁿ khi và chỉ khi (a-1) (m-n)=0

    b) Logarit hoá:

   

    c) Đặt ẩn phụ:

    • Dạng 1: , trong đó P(t) là đa thức theo t.

    • Dạng 2:

   Chia 2 vế cho b^2f(x), rồi đặt ẩn phụ

    • Dạng 3: a^f(x)+ b^f(x)= m, với ab=1. Đặt t = a^f(x) ⇒b^f(x)=

    d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

    Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

   • Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).

   • Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x₀ là nghiệm duy nhất:

   • Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f(u) = f(v) ⇔ u = v

    e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

   • Phương trình tích A. B = 0 ⇔

   • Phương trình A². B² = 0 ⇔

    f) Phương pháp đối lập

   Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

   Nếu ta chứng minh được:

   3.Một số phương pháp giải phương trình logarit

    a) Đưa về cùng cơ số

   Với a > 0, a ≠ 1:

    b) Mũ hoá

    Với a > 0, a ≠ 1:

    c) Đặt ẩn phụ

    d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

    e) Đưa về phương trình đặc biệt

    f) Phương pháp đối lập

    Chú ý:

   • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

    • Với a, b, c > 0 và a, b, c ≠ 1: a^log_bc = c^log_ba

§8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

   A – PHƯƠNG PHÁP CHUNG

   Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã học như:

   • Phương pháp thế.

   • Phương pháp cộng đại số.

   • Phương pháp đặt ẩn phụ.

   • Phương pháp đánh giá

§ 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

   1.Bất phương trình mũ

    Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x>b ( hoặc a^x ≥ b; a^x<b; a^x ≤ b) với a>0; a ≠ 1

   Ta xét bất phương trình có dạng a^x>b

   • Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình là R, vì a^x> b mọi x.

   • Nếu b>0 thì bất phương trình tương đương với a^x > a^log_ab

   Với , nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

   Với , nghiệm của bất phương trình là x < log_ab.

   Ta minh họa bằng đồ thị sau:

   • Với a >1 , ta có đồ thị sau.

   

   • Với 0< a<1, ta có đồ thị sau.

   

   Lưu ý:

   1. Dạng 1:

   2. Dạng 2:

   3. Dạng 3: a^f(x) > b(*)

   - Nếu thì luôn đúng.

   - Nếu thì (*) ⇔ f(x) < log_ab.

   - Nếu thì (*) ⇔ f(x) > log_ab.

   4. Dạng 4: a^f(x) < b(**)

   - Nếu thì (**) vô nghiệm.

   - Nếu thì (**) ⇔ f(x) > log_ab.

   - Nếu thì (**) ⇔ f(x) < log_ab.

   2. Bất phương trình logarit

   • Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.

   

   • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:

   – Đưa về cùng cơ số.

   – Đặt ẩn phụ.

   – ….

    Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: