Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian - Toán lớp 12

---

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

Tài liệu Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Phương trình đường thẳng trong không gian từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Phương trình đường thẳng:

    • Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và nhận vectơ a→ = (a₁; a₂; a₃) với a₁² + a₂² + a₃² ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :

    • Cho đường thẳng Δ đi qua điểm M_o(x_o; y_o; z_o) và nhận vectơ a→ = (a₁; a₂; a₃) sao cho a₁a₂a₃ ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :

II. Góc:

1. Góc giữa hai đường thẳng:

    Δ₁ có vectơ chỉ phương a₁→

    Δ₂ có vectơ chỉ phương a₂→

    Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂. Ta có:

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

    Δ có vectơ chỉ phương a_Δ→

    (α) có vectơ chỉ phương n_α→

    Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng Δ và α. Ta có:

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ:

    Δ đi qua điểm M_o và có vectơ chỉ phương a_Δ→

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

    Δ₁ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phươnga₁→

    Δ₂ đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a₂→

B. Kĩ năng giải bài tập

    Các dạng toán thường gặp

    1. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm phân biệt A, B.

    Cách giải:

    Xác định vectơ chỉ phương của Δ là AB→.

    2. Đường thẳng Δ đi qua điểm M và song song với d.

    Cách giải:

    Trong trường hợp đặc biệt:

    • Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Ox thì Δ có vectơ chỉ phương là a_Δ→ = i→ = (1; 0; 0)

    • Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Oy thì Δ có vectơ chỉ phương là a_Δ→ = j→ = (0; 1; 0)

    • Nếu Δ song song hoặc trùng bới trục Oz thì Δ có vectơ chỉ phương là a_Δ→ = k→ = (0; 1; 0)

    Các trường hợp khác thì Δ có vectơ chỉ phương là a_Δ→ = a_d→, với a_d→ là vectơ chỉ phương của d

    3. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α).

    Cách giải:

    Xác định vectơ chỉ phương của Δ là a_Δ→ = n_α→, với n_α→ là vectơ pháp tuyến của (α).

    4. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d₁, d₂ (hai đường thẳng không cùng phương).

    Cách giải:

    Xác định vectơ chỉ phương của Δ là a_Δ→ = [a₁→, a₂], với a₁→, a₂→ lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁, d₂.

    5. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).

    Cách giải:

    Xác định vectơ chỉ phương của Δ là a_α→ = [a_d→, n_α→], với a_d→ là vectơ chỉ phương của d, n_α→ là vectơ pháp tuyến của (α).

    6. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β); ((α), (β) là hai mặt phẳng cắt nhau)

    Cách giải:

    Xác định vectơ chỉ phương của Δ là a_Δ→ = [n_α→, n_β→], với n_α→, n_β→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β).

    7. Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).

    Cách giải:

    • Lấy một điểm bất kì trên Δ, bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý.

    • Xác định vectơ chỉ phương của Δ là a_Δ→ = [n_α→, n_β→], với n_α→, n_β→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α), (β).

    8. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d₁, d₂ (A ∉ d₁, A ∉ d₂).

    Cách giải:

    Xác định vectơ chỉ phương của Δ là a_Δ→ = [n₁→, n₂→], với n₁→, n₂→ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mp(A, d₁), mp(A, d₂).

    9. Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α) và cắt hai đường thẳng d₁, d₂.

    Cách giải:

    Xác định vectơ chỉ phương của Δ là a_Δ→ = AB→, với A = d₁ ∩ (α), B = d₂ ∩ (α)

    10. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc và cắt d.

    Cách giải:

    • Xác định B = Δ ∩ d.

    • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

    11. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với d₁ và cắt d₂, với A ∉ d₂.

    Cách giải:

    • Xác định B = Δ ∩ d₂.

    • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

    12. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (α).

    Cách giải:

    • Xác định B = Δ ∩ d.

    • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, B.

    13. Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (α) cắt và vuông góc đường thẳng d.

    Cách giải:

    • Xác định A = d ∩ (α).

    • Đường thẳng Δ đi qua A và có vectơ chỉ phương của Δ là a_Δ→ = [a_d→, n_α→], với a_d→ là vectơ chỉ phương của d, n_α→ là vectơ pháp tuyến của (α).

    14. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (α), nằm trong (α) và vuông góc đường thẳng d (ở đây d không vuông góc với (α)) .

    Cách giải:

    • Xác định A = d ∩ (α).

    • Đường thẳng Δ đi qua A và có vectơ chỉ phương của Δ là a_Δ→ = [a_d→, n_α→], với a_d→ là vectơ chỉ phương của d, n_α→ là vectơ pháp tuyến của (α).

    15. Viết phương trình đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁, d₂.

    Cách giải:

    • Xác định A = Δ ∩ d₁, B = Δ ∩ d₂ sao cho

    • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua hai điểm A, B.

    16. Viết phương trình đường thẳng Δ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂.

    Cách giải:

    • Xác định A = Δ ∩ d₁, B = Δ ∩ d₂ sao cho AB→, a_d→ cùng phương, với a_d→ là vectơ chỉ phương của d.

    • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương a_d→ = a_α→.

    17. Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂.

    Cách giải:

    • Xác định A = Δ ∩ d₁, B = Δ ∩ d₂ sao cho AB→, n_α→ cùng phương, với n_α→ là vectơ pháp tuyến của (α).

    • Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương a_d→ = n_α→.

    18. Viết phương trình Δ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (α).

    Cách giải :

    Xác định H ∈ Δ sao cho AH→ ⊥ a_d→,với a_d là vectơ chỉ phương của d.

    • Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (α).

    • Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β)

    19. Viết phương trình Δ là hình chiếu song song của d lên mặt phẳng (α) theo phương d'.

    Cách giải :

    • Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa d và có thêm một véc tơ chỉ phương u_d'→.

    • Viết phương trình đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β).