150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (cơ bản) - Toán lớp 12

---

150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (cơ bản)

Với 150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (cơ bản) Toán lớp 12 tổng hợp 150 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x

A. ∫sin2xdx = − cos2x + C .

B. ∫sin2xdx = cos2x + C .

C. ∫sin2xdx = cos2x +C.

D. ∫sin2xdx = − cos2x + C.

Lời giải:

∫sin2xdx = ∫sin2xd(2x) = − cos2x + C

Đáp án: A

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos(3x + ) .

A. ∫f(x)dx = sin(3x + ) + C .

B. ∫f(x)dx = sin(3x + ) + C .

C. ∫f(x)dx = − sin(3x + ) + C .

D. ∫f(x)dx = sin(3x + ) + C .

Lời giải:

∫f(x)dx = ∫cos(3x + )d(3x + ) = sin(3x+ ) + C

Đáp án: A

Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 + tan² .

A. ∫f(x)dx = 2tan +C.

B. ∫f(x)dx = tan +C.

C. ∫f(x)dx = tan +C.

D. ∫f(x)dx = -2tan +C.

Lời giải:

f(x) = 1+ tan² = nên = 2tan + C

Đáp án: A

Bài 4: Tìm nguyên hàm của hàm số .

A. ∫f(x)dx = −cot(x+ ) + C .

B. ∫f(x)dx = − cot(x+ ) + C .

C. ∫f(x)dx = cot(x+ ) + C.

D. ∫f(x)dx = cot(x+ ) + C.

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 4: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin³x.cosx .

A. ∫f(x)dx = + C .

B. ∫f(x)dx = − + C .

C. ∫f(x)dx = + C .

D. ∫f(x)dx = − + C .

Lời giải:

∫sin³x.cosx.dx = ∫sin³x.d(sinx) = + C

Đáp án: A

Bài 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x.3^-2x .

A. ∫f(x)dx = .

B. ∫f(x)dx = .

C. ∫f(x)dx = .

D. ∫f(x)dx = .

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 6: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x(3+e^-x) là

A. F(x) = -3e^x-x+C .

B. F(x) = 3e^x+e^xlne^x+C .

C. F(x) = 3e^x - +C.

D. F(x) = 3e^x +x+C.

Lời giải:

F(x) = ∫e^x(3+e^-x)dx = ∫(3e^x+1)dx = 3e^x+x+C

Đáp án: D

Bài 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = e^2x-1 + C.

B. ∫f(x)dx = e^2x-1 + C.

C. ∫f(x)dx = e^2x-1 + C.

D. ∫f(x)dx = + C.

Lời giải:

∫ dx = ∫e^2x-1dx = ∫ e^2x-1d(2x-1) = e^2x-1 + C

Đáp án: C

Bài 8: Nguyên hàm của hàm số f(x) = là

A. ∫f(x)dx = 2 + C.

B. ∫f(x)dx = + C.

C. ∫f(x)dx = + C.

D. ∫f(x)dx = -2 + C.

Lời giải:

∫ dx = = + C

Đáp án: B

Bài 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = 2 + C

B. ∫f(x)dx = - + C

C. ∫f(x)dx = -2 + C

D. ∫f(x)dx = -3 + C

Lời giải:

∫ dx = - = -2 + C

Đáp án: C

Bài 10: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = + C

B. ∫f(x)dx = (2x+1) + C

C. ∫f(x)dx = - + C

D. ∫f(x)dx = (2x+1) + C

Lời giải:

Đặt t= ⇒dt = ⇒dx dx=tdt

⇒∫ dx = ∫t²dt = + C = (2x+1) + C

Đáp án: D

Bài 11: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = (5-3x) + C

B. ∫f(x)dx = - (5-3x) + C

C. ∫f(x)dx = - (5-3x) + C

D. ∫f(x)dx = - + C

Lời giải:

Đặt

Đáp án: C

Bài 12: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = - (x+2) + C

B. ∫f(x)dx = (x+2) + C

C. ∫f(x)dx = (x+2) + C

D. ∫f(x)dx = + C

Lời giải:

Đặt t = ⇒ dt = (x-2)^-2/3dx ⇒ dx = 3t²dt

Khi đó ∫ dx = ∫t.3t²dt = ∫3t³dt = t⁴ + C = (x-2) + C

Đáp án: B

Bài 13: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = .

A. ∫f(x)dx = -(1-3x) + C

B. ∫f(x)dx = - (1-3x) + C

C. ∫f(x)dx = (1-3x) + C

D. ∫f(x)dx = - (1-3x) + C

Lời giải:

Đặt t = = (1-3x)^1/3

⇒ dt = .(-3).(1-3x)^-2/3dx = -(1-3x)^-2/3dx ⇒ dx = -t²dt

Khi đó ∫ dx =∫t.(-t²)dt = ∫-t³dt = - t⁴ + C = - (1-3x) + C

Đáp án: D

Bài 14: Tìm nguyên hàm của hàm số I = ∫ dx

A: x² - 3x + 4ln|x-1| + C

B. x² + 3x - 4ln|x-1| + C

C: x² + 3x + 4ln|x-1| + C

D: x² - 3x - 4ln|x-1| + C

Lời giải:

Ta có: = 2x + 3 +

Suy ra: I = ∫(2x + 3 + )dx = x² + 3x + 4ln|x-1| + C

Đáp án: C

Bài 15: Tìm nguyên hàm của hàm số J = ∫ dx

A. - + x - 2ln|x+1| + C

B. - + 2x - 2ln|x+1| + C

C. - + x + 2ln|x+1| + C

D. + + x - 2ln|x+1| + C

Lời giải:

Ta có: = = x² - x + 1 -

Suy ra: J = ∫(x² - x + 1 - )dx = - + x - 2ln|x+1| + C

Đáp án: A

Bài 16: Tìm nguyên hàm của hàm số K = ∫ dx

A. - + 2ln|x| + + C

B. - - 3ln|x| + + C

C. + + 2ln|x| + + C

D. - + 3ln|x| + + C

Lời giải:

Ta có : = x³ - 3x + -

Suy ra K = ∫(x³ - 3x + - )dx = - + 3ln|x| + + C

Đáp án: D

Bài 17: Biết một nguyên hàm của hàm số f(x) = + 1 là hàm số F(x) thỏa mãn F(-1) = . Khi đó F(x) là hàm số nào sau đây?

A. F(x) = x - + 3

B. F(x) = x - - 3

C. F(x) = x - + 1

D. F(x) = 4 -

Lời giải:

F(x) = ∫( + 1)dx = + x = x - + C

F(-1) = ⇒ C = 3 ⇒ F(x) = x - + 3

Đáp án: A

Bài 18: Biết F(x) = 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = . Khi đó giá trị của a bằng

A. 2    B. 3    C. -3    D.

Lời giải:

F'(x) = (6 )' = ⇒ a = -3

Đáp án: C

Bài 19: Hàm số f(x) = x³ - x² + 3 + có nguyên hàm là

A. F(x) = - + 3x + 2ln|x| + C .

B. F(x) = x⁴ - + 3x + ln|x| + C .

C. F(x) = 3x² - 2x - + C .

D.Đáp án khác

Lời giải:

F(x) = ∫(x³ - x² + 3 + )dx = - + 3x + ln|x| + C

Đáp án: D

Bài 20: Họ nguyên hàm của hàm số I = ∫(e^x + 2e^-x)² là

A. e^2x + 4x + 2e^-2x + C

B. e^2x + 4x - 2e^-2x + C

C. e^2x + 4x + 2e^-2x + C

D. e^2x - 4x - 2e^-2x + C

Lời giải:

Ta có: (e^x + 2e^-x)² = e^2x + 4 + 4e^-2x

Suy ra: I = ∫(e^2x + 4 + 4e^-2x)dx = e^2x + 4x - 2e^-2x + C

Đáp án: B

Bài 21: Hàm số F(x) = 7sinx - cosx + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f(x) = sinx - 7cosx + x.

B. f(x) = -sinx + 7cosx.

C. f(x) = sinx + 7cosx.

D. f(x) = -sinx - 7cosx.

Lời giải:

Ta có: F'(x) = 7cosx + sinx

Đáp án: C

Bài 22: Tính ∫ dx là

A. tanx - cos2x + C .

B. cot2x + C .

C. tan2x - x + C.

D. tanx - cosx + C .

Lời giải:

Ta có: ∫ dx = ∫ dx = tanx - cosx + C

Đáp án: D

Bài 23: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a/∫(x⁴ - 3x² + 2x + 1)dx

A. - x³ + x² + 2x + C.

B. + x³ + x² + x + C.

C. - x³ + x² - x + C.

D. - x³ + x² + x + C.

b/∫(x+1)(x+2)dx

A. - - 2x + C

B. + - 2x + C

C. - - 2x + C

D. + - x + C

Lời giải:

a)∫(x⁴ - 3x² + 2x + 1)dx = ∫x⁴dx - 3∫x²dc + 2∫xdx + ∫dx = - x³ + x² + x + C.

Đáp án: D

b)∫(x+1)(x+2)dx = ∫(x² - x - 2)dx = - - 2x + C

Đáp án: A

Bài 24: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a/∫ dx

A. ln + C

B. ln + C

C. ln + C

D. ln + C

b/∫( - 2x + e^x)dx

A. tanx - x² + e^x + C

B. cotx - x² + e^x + C

C. tanx - x² - e^x + C

D. cotx - 2x² + e^x + C

Lời giải:

a)∫ dx = = ln|x-2| - ln|x-1| + C = ln + C

Đáp án: D

b)∫ ∫( - 2x + e^x)dx = tanx - x² + e^x + C

Đáp án: A

Bài 25: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a)∫(cos3x - 5sinx)dx

A. Sin3x - 5cosx + C

B. Sin3x + 5 cosx + C

C. -sin3x + 5cosx

D. Đáp án khác

b)∫sin² dx

A. -

B. +

C. x - + C

D. - + C

Lời giải:

a)∫(cos3x - 5sinx)dx = ∫cos3xdx - 5∫sinxdx = sin3x + 5 cosx + C

Đáp án: D

b)∫sin² dx = = ∫( - cosx)dx = - + C

Đáp án: D

Bài 26: Tìm hàm số f(x) biết: f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5

A. x² + x + 3

B. x² - x + 2

C. x² + 2x + 1

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có f(x) = ∫(2x+1)dx = x² + x + C

Vì f(1) = 5 nên C = 3;

Vậy : f(x) = x² + x + 3

Đáp án: A

Bài 27: Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2 – x² và f(2) = 7/3;

A. f(x) = 2x + + 1

B. f(x) = x - - 2

C. f(x) = 2x - + 1

D. f(x) = 2x - + 2

Lời giải:

Ta có f(x) = ∫(2 - x²)dx = 2x - + C

Vì f(2) = 7/3 nên C = 1; Vậy: f(x) = 2x - + 1 ;

Đáp án: C

Bài 28: Hàm số F(x) = 3x² - + - 1 có một nguyên hàm là

A. f(x) = x³ - 2√x - - x .

B. f(x) = x³ - √x - - x .

C. x³ - 2√x +

D. x³ - √x - - x .

Lời giải:

Ta có: ∫F(x)dx = ∫(3x² - + - 1)dx = x³ - 2√x - - x + C

Đáp án: A

Bài 29: Hàm số f(x) = có một nguyên hàm F(x) bằng

A. .

B. - + 1 .

C. .

D. + 2.

Lời giải:

∫f(x)dx = ∫ ∫ d(sinx) = + C

Cho C = 2

Đáp án: D

Bài 30: Kết quả tính ∫2x dx bằng

A. + C.

B. - + C .

C. - + C.

D.Tất cả sai

Lời giải:

Đặt t = ⇒t² = 5 - 4x² ⇒ 2tdt = -8xdx ⇒ tdt = -4xdx

Ta có: ∫2x dx = - ∫t²dt = - t³ + C = - + C

Đáp án: C

Bài 31: Kết quả ∫ cosxdx bằng

A. x + C .

B. cosx. + C .

C. + C.

D. + C.

Lời giải:

Ta có: ∫ cosxdx = ∫ d(sinx) = + C

Đáp án: C

Bài 32: Tính ∫tanxdx bằng

A. -ln|sinx| + C .

B. -ln|cosx| + C .

C. + C.

D. - + C.

Lời giải:

Ta có: ∫tanxdx = ∫ dx = -∫ d(cosx) = -ln|cosx| + C

Đáp án: B

Bài 33: Tính ∫cotxdx bằng

A. ln|cosx| + C.

B. ln|sinx| + C .

C. - + C.

D. - C .

Lời giải:

Ta có: ∫cotxdx = ∫ dx = -∫ d(sinx) = ln|sinx| + C

Đáp án: B

Bài 34: Nguyên hàm của hàm số y = là

A. x³ + x² + x + ln|x-1| + C .

B. x³ + x² + x + ln|x+1| + C .

C. x³ + x² + x + ln|x-1| + C.

D. x³ + x² + x + ln|x-1| + C.

Lời giải:

Ta có: = x² + x + 1 +

∫f(x)dx = ∫(x² + x + 1 + )dx = x³ + x² + x + ln|x-1| + C

Đáp án: A

Bài 35: Một nguyên hàm của hàm số f(x) = là

A. + 3x + 6ln|x+1| + 3 .

B. + 3x + 6ln|x+1| .

C. + 3x - 6ln|x+1| .

D. - 3x + 6ln|x+1| + 5 .

Lời giải:

f(x) = = x - 3 +

∫f(x)dx = ∫( = x - 3 + )dx = - 3x + 6ln|x+1| + C

Chọn C = 5

Đáp án: D

Bài 36: Kết quả tính ∫ dx bằng

A. - ln + C .

B. - ln + C .

C. ln + C .

D. ln + C .

Lời giải:

Ta có: = ( - )

Nên ∫f(x)dx = ∫ ( - )dx = ln + C

Đáp án: D

Bài 37: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = là

A. F(x) = ln + C .

B. F(x) = ln + C.

C. F(x) = ln + C .

D. F(x) = ln|x² + x - 2| + C .

Lời giải:

f(x) = = ( - )

∫f(x)dx = (ln|x-1| - ln|x+2|) + C = F(x) = ln + C

Đáp án: A

Bài 38: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = là

A. F(x) = - - 2ln|x| + x + C .

B. F(x) = - - 2lnx + x + C .

C. F(x) = - 2ln|x| + x + C .

D. F(x) = - - 2ln|x| - x + C .

Lời giải:

f(x) = = = - 2. + 1

Nên ∫f(x)dx = - - 2ln|x| + x + C

Đáp án: A

Bài 39: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = thoả mãn F(2) = 0 . Khi đó phương trình F(x) = x có nghiệm là

A. x = 3    B. x = 1    C. x = -1 .    D.tất cả sai

Lời giải:

Đặt t = ⇒ T² = 8 - x² ⇒ -tdt = xdx

∫ dx = -t + C = - + C

Vì F(2) = 0 suy ra C = 2

Ta có phương trình - + 2 = x ⇔ x = 1- √3

Đáp án: D

Bài 40: Nếu là một nguyên hàm của hàm số f(x) = và F(2) = 1 thì F(3) bằng

A.4    B.    C. ln2 + 1    D.0

Lời giải:

∫ dx = ln|x-1| + C,

vì F(2) = 1 nên C=1 .

Vậy F(x) = ln|x-1| +1 , thay x = 3 ta được F(3)=ln2+1.

Đáp án: C

Bài 41: Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = . thoả mãn F(1) = . Giá trị của F²(e) là

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Đặt t = ⇒ t² = ln²x + 1 ⇒ tdt = dx

∫ . dx = ∫t²dt = .t³ + C = + C

Vì F(1) = nên C = 0

Vậy F²(e) = .

Đáp án: A

Bài 42: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau: I =

A. + C

B. + C

C. + C

D. + C

Lời giải:

Đặt t = ⇒ t³ = 3-2x ⇔ x = ⇒ dx = - t²dt

⇒ t = - ∫( + 1)t.t²dt = - ∫(5t³ - t⁶)dt

Đáp án: D

Bài 43: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau

A. + C

B. + C

C. + C

D. - + C

Lời giải:

Đặt t = ⇒ t³ = 2x + 2 ⇒ x = ⇒ dx = t²dt

Suy ra

= + C

Đáp án: B

Bài 44: Tìm 1 họ nguyên hàm của hàm số sau

A.

B. + 1

C. - 10

D. + 8

Lời giải:

Ta có:

= + C .

Cho C = -10.

Đáp án: C

Bài 45: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau I = ∫sin³x.cos⁵xdx

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx

Ta có: I = ∫(1-cos²x)cos⁵xsinxdx = -∫(1-t²)t⁵dt

= ∫(t⁷ - t⁵)dt = + C =

Đáp án: A

Bài 46: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đặt t = tanx ⇒ dt = dx .

Do đó:

Đáp án: B

Bài 47: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau

A.

B. + C

C. + C

D. + C

Lời giải:

Đặt u = x² + 1 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = du

Đáp án: C

Bài 48: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau ∫(x³ + 5)⁴x²dx

A. + C

B. x. + C

C. x². + C

D. + C

Lời giải:

Đặt u = x³ + 5 ⇒du = 3x²dx ⇒ x²dx = du

⇒ ∫(x³ + 5)⁴x²dx = ∫u⁴du = = + C

Đáp án: A

Bài 49: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau

A. ln(x² + 5)² + C

B. 2ln(x² + 5) + C

C. ln(x² + 5) + C

D. ln(x² + 5) + C

Lời giải:

Đặt u = x² + 5 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = du

⇒ = ∫ du = ln|u| + C = ln(x² + 5) + C

Đáp án: D

Bài 50: Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau ∫(x-1)e^x2-2x+3

A. e^x2-2x+3 + C

B. -e^x2-2x+3 + C

C. 2.e^x2-2x+3 + C

D. x.e^x2-2x+3 + C

Lời giải:

Đặt u = x²-2x+3 ⇒ du = 2(x-1)dx ⇒ (x-1)dx = du

⇒ ∫(x-1)e^x2-2x+3 = ∫ .e^udu = .e^u + C = e^x2-2x+3 + C

Đáp án: A

Bài 51: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

A. -3 + C

B. -3 + C

C. -2 + C

D.Tất cả sai

Lời giải:

Đặt u = cosx ⇒ du = -sinxdx

Đáp án: A

Bài 52: Tìm nguyên hàm của hàm số sau ∫(1 + cot²2x)e^cot2xdx

A. - e^cot2x

B. - e^cot2x +C

C. - e^cotx + C

D. -2e^cot2x +C

Lời giải:

Đặt u = cot2x ⇒ du = - dx ⇒ du = -2(1 + cot²2x)dx

⇒ ∫(1 + cot²2x)e^cot2xdx = - ∫e^udu = - e^cot2x +C

Đáp án: B

Bài 53: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x² + - 2√x .

A. ∫f(x)dx = + 3ln|x| - √(x³) +C .

B. ∫f(x)dx = + 3lnx - √(x³) .

C. ∫f(x)dx = + 3ln|x| + √(x³) +C .

D. ∫f(x)dx = - 3ln|x| - √(x³) +C .

Lời giải:

∫(x² + - 2√x)dx = ∫x²dx + ∫ dx - 2∫√xdx = + 3ln|x| - √(x³) +C.

Đáp án: A

Bài 54: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = (3x+1) + C.

B. ∫f(x)dx = + C .

C. ∫f(x)dx = (3x+1) + C .

D. ∫f(x)dx = + C .

Lời giải:

⇒ ∫f(x)dx = (3x+1) + C

Đáp án: C

Bài 55: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = + 14ln|1-x| + C .

B. ∫f(x)dx = - + 14ln|1-x| + C .

C. ∫f(x)dx = - 14ln|1-x| + C .

D. ∫f(x)dx = + 14ln|1-x| + C .

Lời giải:

Đáp án: C

Bài 56: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = -ln|sinx| + C .

B. ∫f(x)dx = ln|cos2x - 1| + C .

C. ∫f(x)dx = ln|sin2x| + C .

D.Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: D

Bài 57: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx.cos2x.dx .

A. ∫f(x)dx = + cosx + C .

B. ∫f(x)dx = cos3x + sinx + C .

C. ∫f(x)dx = + cosx + C .

D. ∫f(x)dx = cos3x - sinx + C .

Lời giải:

∫sinx.cos2x.dx = ∫(2cos²x - 1)sinxdx = ∫(2cos²-1)d(cosx) = + cosx + C

Đáp án: A

Bài 58: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.cos3x .

A. ∫f(x)dx = cos2x + cos4x + C .

B. ∫f(x)dx = cos2x - cos4x + C .

C. ∫f(x)dx = 2cos⁴x + 3cos²x + C .

D. ∫f(x)dx = 3cos⁴x - 3cos²x + C .

Lời giải:

∫2sinx.cos3xdx = ∫(sin4x-sin2x)dx = cos2x - cos4x + C

Đáp án: B

Bài 59: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x³ - 3x² + 1 - sin2x thoả mãn F(0) = 1 .

A. F(x) = 2 - 3 + x + cos2x + .

B. F(x) = 2 + 3 + x + cos2x + .

C. F(x) = 2 - 3 - x + cos2x + .

D. F(x) = 2 - 3 + x + cos2x -

Lời giải:

F(x) = ∫(2x³ - 3x² + 1 - sin2x)dx = 2 - 3 + x + cos2x + C

Vì F(0) = 1 nên cos0 + C = 1 ⇒ C =

Đáp án: A

Bài 60: Cho f'(x) = 3 - 5sinx và f(0) = 10 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f(x) = 3x + 5cosx + 2 .

B. f(π) = 3π .

C. f(π/2) = 3π/2 .

D. f(x) = 3x - 5cos .

Lời giải:

f(x) = ∫f'(x)dx = 3x + 5cosx + C ;

Do f(0) = 10 ⇔ C =5

Vậy f(x) = 3x + 5cosx + 5 ⇒ f(π) = 3π .

Đáp án: B

Bài 61: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = xcosx .

A. ∫f(x)dx = xsinx - cosx + C .

B. ∫f(x)dx = -xsinx - cosx + C .

C. ∫f(x)dx = xsinx + cosx + C .

D. ∫f(x)dx = -xsinx + cosx + C .

Lời giải:

Đặt u = x , dv = cosxdx

Suy ra du = dx, v=sinx

Do đó I = xsinx + ∫sinxdx = xsinx - cosx + C .

Đáp án: A

Bài 62: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sin² biết F( ) = .

A. F(x) = - + + .

B. + + .

C. - + .

D. + +

Lời giải:

F(x) = ∫sin² dx = ∫(1-cosx)dx = - + C

F( ) = ⇔ - sin + C = ⇔ C =

Đáp án: C

Bài 63: Hàm số f(x) = e^x(ln2 + e^-x ) có họ nguyên hàm là

A. F(x) = e^xln2 + 2cosx + C .

B. F(x) = e^xln2 - cotx + C .

C. F(x) = e^xln2 + + C .

D. F(x) = e^xln2 - + C .

Lời giải:

∫f(x)dx = ∫(e^xln2 + )dx = e^xln2 - cotx + C

Đáp án: B

Bài 64: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e^-x .

A. ∫f(x)dx = 2x.e^x - e^x + C .

B. ∫f(x)dx = x.e^x + e^x + C .

C. ∫f(x)dx = x.e^x - e^x + C .

D. ∫f(x)dx = e^x - xe^x + C .

Lời giải:

+ ∫f(x)dx = ∫x.e^xdx =

+ Đặt u = x ⇒ du = dx và dv = e^xdx ⇒ v = e^x

+ Vậy ∫f(x)dx = x.e^x - ∫e^xdx = x.e^x - e^x + C

Đáp án: C

Bài 65: Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?

   A. Chỉ (I)

   B. Chỉ (III)

   C. Chỉ (I) và (II)

   D. Chỉ (I) và (III)

Lời giải:

∫e^2cosxsinxdx = - ∫e^2cosxd(cosx) = - e^2cosx + C

Đáp án: D

Bài 66: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

A. x²lnx + x² + C

B. x²lnx - x² + C

C. x²lnx - x² + C

D. x²lnx - x² + C

Lời giải:

Đặt

⇒ ∫xlnxdx = x²lnx - ∫ x² dx = x²lnx - ∫xdx = x²lnx - x² + C

Đáp án: B

Bài 67: Tìm nguyên hàm của hàm số sau ∫(1-x)cosxdx

A. (1+x)cosx-sinx+C

B. (1-x).sinx-cosx+C

C.(1-x).cosx+sinx+C

D. (1-x)cosx-cosx+C

Lời giải:

Đặt:

∫(1-x)cosxdx = (1-x)sinx + ∫sinxdx = (1-x)sinx - cosx + C

Đáp án: B

Bài 68: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ∫(1-2x)e^xdx

A. e^x(2-3x) + C

B. e^x(3-3x) + C

C. e^x(3-2x) + C

D. e^x(2+3x) + C

Lời giải:

Đặt

∫(1-2x)e^xdx = (1-2x)e^x + ∫2e^xdx = (1-2x)e^x + 2e^x + C = e^x(3-2x) + C

Đáp án: C

Bài 69: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫√x.lnx.dx

A. - lnx - + C

B. lnx - (- ) + C

C. ln2x - + C

D. lnx - + C

Lời giải:

Đặt

=

Đáp án: D

Bài 70: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

A. -x.cotx + ln|sinx| + C B. x.cotx + ln|sinx| + C C. x.cosx + ln|sinx| + C D. x.cotx - ln|sinx| + C

Lời giải:

Đặt

⇒ = -x.cotx + ∫ dx = -x.cotx + ln|sinx| + C

Đáp án: A

Bài 71: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau ∫(2x + 3)e^-xdx

A. -e^-x(2x - 1) + C B. -e^-x(2x + 1) + C C. -e^x(2x - 1) + C D. Đáp án khác

Lời giải:

Đặt

⇒ ∫(2x + 3)e^-xdx = -e^-x(2x + 3) - ∫-e^-x.2dx = -e^-x(2x + 3) + ∫2e^-xdx

= -e^-x(2x + 3) - 2e^-x + C = -e^-x(2x + 1) + C

Đáp án: B

Bài 72: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. F(x) = (2x + 1)² + ln|2x+1| + C .

B. F(x) = (2x + 1)² + 5.ln|2x+1| + C .

C. (2x + 1)² + ln|2x+1| + C .

D. (2x + 1)² - ln|2x+1| + C

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 73: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. F(x) = ln|ln²x + 1| + C .

B. F(x) = ln|lnx + 1| + C .

C. F(x) = ln|x + 1| + C .

D. F(x) = lnx + 1 + C .

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 74: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. F(x) = e^x - ln(e^x + 1) + C .

B. F(x) = e^x + ln(e^x + 1) + C .

C. F(x) = ln(e^x + 1) + C.

D. F(x) = e^2x - e^x + C .

Lời giải:

Đáp án: A

Bài 75: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = 2.√x - √2.ln(1 + √x) + C

B. ∫f(x)dx = 2.√x - 2.ln(1 + √x) + C.

C. ∫f(x)dx = ln(1 + √x) + C.

D. ∫f(x)dx = 2 + 2ln(1 + √x) + C.

Lời giải:

Đặt t = √x ⇒ x = (1-t)² ⇒ dx = 2(t-1)dt

Khi đó

= 2(√x + 1 - ln|1 + √x|) + C₁ = 2√x - 2.ln(1 + √x) + C. (Với C = 2 + C₁ và 1 + √x > 0)

Đáp án: B

Bài 76: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = - (2x + 1) + C .

B. ∫f(x)dx = (2x + 1) + C .

C. ∫f(x)dx = - (2x - 1) + C .

D. ∫f(x)dx = -2 + + C .

Lời giải:

= = - (2x + 1) + C

Đáp án: A

Bài 77: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = .

A. ∫f(x)dx = - (x² + 8) + C .

B. ∫f(x)dx = (x² + 8) + C .

C. ∫f(x)dx = - + C .

D. ∫f(x)dx = - (x² + 8) + C .

Lời giải:

Đặt t = ⇒ x² = 4 - t² ⇒ xdx = -tdt . Khi đó

Đáp án: A

Bài 78: Tính bằng:

A. tan2√x + C .

B. 2tan√x + C .

C. tan²√x + C .

D. tan√x + C.

Lời giải:

= 2tan√x + C

Đáp án: B

Bài 79: Tính bằng

A. 2ln|x³ - 3x² + 6| + C .

B. ln|x³ - 3x² + 6| + C.

C. ln|x³ - 3x² + 6| + C.

D. 2ln(x³ - 3x² + 6) + C.

Lời giải:

= 2ln|x³ - 3x² + 6| + C

Đáp án: A

Bài 80: Tính ∫(5 - 9x)¹²dx bằng

A. + C .

B. + C .

C. - + C .

D. + C .

Lời giải:

∫(5 - 9x)¹²dx = - ∫(5 - 9x)¹²d(5 - 9x) = - + C

Đáp án: C

Bài 81: Tính bằng

A. - cot(x - ) + C.

B. - cot(x + ) + C .

C. -cot(x + ) + C .

D. - cot(x + ) + C.

Lời giải:

Đáp án: B

Bài 82: Tính bằng

A. - ln|x + 1| + C.

B. - + ln|x + 1| + C .

C. + ln|x + 1| + C .

D. - - ln(x + 1) + C .

Lời giải:

= = - - ln(x + 1) + C

Đáp án: D

Bài 83: Tính ∫x.2^xdx bằng:

A. - + C.

B. + C .

C. 2^x(x + 1) + C .

D. 2^x(x - 1) + C .

Lời giải:

Đặt

Ta có ∫x.2^xdx = - ∫ = - + C

Đáp án: A

Bài 84: Tính ∫lnxdx bằng:

A. x.lnx + 2x + C .

B. x.lnx - lnx + C.

C. lnx - x + C .

D. x.lnx - x + C .

Lời giải:

Đặt

Ta có ∫lnxdx = x.lnx - ∫dx = x.lnx - x + C

Đáp án: D

Bài 85: Tính ∫2x.ln(x - 1)dx bằng:

A. (x² + 1)ln(x - 1) - - x + C .

B. x²ln(x - 1) - - x + C.

C. (x² - 1)ln(x - 1) - - x + C .

D. (x² - 1)ln(x - 1) - + x + C .

Lời giải:

Đặt

Ta có ∫2x.ln(x - 1)dx = (x² - 1)ln(x - 1) - ∫(x + 1)dx = (x² - 1)ln(x - 1) - - x + C

Đáp án: C

Bài 86: Kết quả của tích phân được viết dưới dạng a + bln2

với a,b ∈ Q . Khi đó a+b bằng:

A. .    B. - .    C. .    D. - .

Lời giải:

Ta có: = ( + x + 2ln|x - 1|) = - 2.ln2 = a + b.ln2 ⇒

Vậy a + b = - 2 = -

Đáp án: B

Bài 87: Biết rằng ln(x + 1)dx = a.ln3 + b.ln2 + c với a,b,c là các số nguyên.

Tính S = a + b + c .

A. S = 1 .    B. S = 0 .    C. S = 2 .    D. S = -2 .

Lời giải:

Đặt .

Khi đó: ln(x + 1)dx = (x + 1)ln(x + 1) - dx = 3.ln3 - 2.ln2 - 1

Vậy a = 3; b = -2; c = -1 ⇒ S = a + b + c = 0 .

Đáp án: B

Bài 88: Ta có tích phân I = 4 x(1 + lnx)dx = a.e² + b. Tính M = ab + 4(a + b) (trong đó a,b ∈ Z )

A. M = -5 .    B. M = -2 .    C. M = 5 .    D. M = -6 .

Lời giải:

Ta có: I = 4 x(1 + lnx)dx = 2 (1 + lnx)d(x²)

= 2[ (1 + lnx).x² - x². dx ] = 2(2e² - 1 - + ) = 3e² - 1

Nên a =3, b = -1 nên M = 5 .

Đáp án: C

Bài 89: Tính các tính phân sau:

a)I = .

A. 1    B. 1/6     C. 2/9    D. 3/8

b)I = .

A. 1 - ln5     B. 1 + ln3     C. 2 - ln4    D. 1 - ln2

Lời giải:

a)

Đáp án: D

b)

Đáp án: D

Bài 90: Tính tích phân I = |x - 1|dx ta được kết quả :

A.1     B.2     C.3     D.4

Lời giải:

Cho x - 1 = 0 ⇔ x = 1 ( thỏa mãn)

Ta có bảng xét dấu :

Khi đó :

I = - (x - 1)dx + (x - 1)dx = = 1

Đáp án: A

Bài 91: Tính tích phân I = |x² - 1|dx ta được kết quả :

A. 4     B. 3     C. 9     D. 9/2

Lời giải:

Cho x² - 1 = 0 ⇔ x = 1 ( thỏa mãn)

Bảng xét dấu của x² - 1 trên đoạn [-2;2]

I = |x² - 1|dx = (x² - 1)dx + (1 - x²)dx + (x² - 1)dx

= = 4

Đáp án: A

Bài 92: Tính các tích phân sau.

a) I =

A. 3 + 6ln3     B. 3ln2 - ln3    C. 6 - 2ln3    D. 3 + 6ln2 - 3ln3

b) I =

A. 0     B. 1    C. ln3 + ln4    D. ln3 - ln4

Lời giải:

a)Ta có

I = = = (2x + 3.ln(x + 3)) = 3 + 6.ln2 - 3.ln3

Đáp án: D

b)Ta có

I = = = ln|4 - x²| = ln3 - ln4

Đáp án: D

Bài 93: Tính I = .

A. - ln3    B. ln3 + 2    C. 4 - ln2    D. Đáp án khác

Lời giải:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P(x) = 2x³ + 7x² + 3x - 1 cho đa thức Q(x) = 2x + 1 ta được:

Bước 2: I = .

Đáp án: A

Bài 94: Tính các tích phân sau

a/ (x³ - 1)dx

A.1     B: -1/2     C. -3/4     D. Tất cả sai

b/

A.5     B.5,5     C. 6     D.6,5

Lời giải:

a) (x³ - 1)dx = x³dx - xdx = ( - x) = -3/4

Đáp án: C

b) = (x + 4)dx = ( + 4x) = (2 + 8) - ( + 4) = 5,5

Đáp án: B

Bài 95: Tính tích phân sau A =

A. -1/3    B. 2    C. 1/3     D: đáp án khác

Lời giải:

Đặt t = 1 + x² ⇒ dt = 2xdx ; Đổi cận: Khi x = 0 ⇒ t = 1; Khi x = 1 ⇒ t = 2

⇒ A = √t.dt = = (2√2 - 1 )

Đáp án: D

Bài 96: Tính tích phân sau B = x³(x⁴ - 1)⁵dx

A. -1/12    B. -1/6    C. -1/24     D.-1

Lời giải:

Đặt t = x⁴ - 1 ⇒ dt = 4x³dx ;

Đổi cận: Khi x = 0 ⇒ t = -1; x = 1 ⇒ t = 0

⇒ B =

Đáp án: C

Bài 97: Tính tích phân sau C =

A.1    B. 2    C. ln(e-1)    D. ln(e+1)

Lời giải:

Đặt t = e^x - 1 ⇒ dt = e^xdx

Đổi cận: Khi x = 1 ⇒ t = e – 1;Khi x = 2 ⇒ t = e² - 1

⇒ C = = ln(e² - 1) - ln(e - 1) = = ln(e + 1)

Đáp án: D

Bài 98: Tính tích phân sau D =

A. 1    B. 2     C. 3     D. Tất cả sai

Lời giải:

Đặt t = 4 - x² ⇒ dt = -2xdx ⇒ xdx = - dt

Khi x = 0 ⇒ t = 4 ; x = 2 ⇒ t = 0

⇒ D =

Đáp án: D

Bài 99: Biết = a.lnb - b.lna với a,b > 0 thì bằng:

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có: .

= (3.ln(x + 1) - 4.ln(x + 4)) = 7.ln4 - 4.ln7.

Đáp án: B

Bài 100: Biết thì a và b là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. x² - 5x + 6 = 0

B. x² - 8x + 12 = 0

C. 2x² - x - 1 = 0

D. x² - 9 = 0

Lời giải:

⇒ ⇒ a,b là hai nghiệm của phương trình x² - 8x + 12 = 0 .

Đáp án: B

Bài 101: Biết với là phân số tối giản và a,b > 0 thì a² - b bằng

A. 13    B. 5    C. -4    D. -2

Lời giải:

Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có: .

⇒ ⇒ a² - b = -2

Đáp án: D

Bài 102: Tính tích phân I = |x² - 3x + 2|dx ta được kết quả :

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

Lời giải:

Cho x² - 3x + 2 = 0 ⇔ ( thỏa mãn)

Bảng xét dấu của x² - 3x + 2 trên đoạn [0;2]

Khi đó :

I = (x² - 3x + 2)dx - (x² - 3x + 2)dx

= = 1

Đáp án: D

Bài 103: Tính tích phân sau E =

A. 2(e² -e)    B. e    C. e²+e    D. 2e²-1

Lời giải:

Đặt t = √x ⇒ dt = dx ⇒ = 2dt

Khi x = 1 ⇒ t = 1 ; x = 4 ⇒ t = 2 ; ⇒ E = 2.e^tdt = 2.e^t = 2(e² -e)

Đáp án: A

Bài 104: Tính tích phân sau F =

A. 1    B. ln2    C. ln3    D. 2

Lời giải:

Đặt t = sin²x ⇒ dt = 2.sinx.cosxdx = sin2xdx

Khi x = 0 ⇒ sin²0 = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ = 1 ⇒ t = 1

⇒ F = = ln|1 + t| = ln2 - ln1 = ln2

Đáp án: B

Bài 105: Tính tích phân sau G = (e^x - 1)².e^xdx

A. 0,5    B. -1/4    C. 1/3    D. 2

Lời giải:

Đặt t = e^x - 1 ⇒ dt = e^xdx ;

Đổi cận : Khi x = 0 ⇒ t = 0 ; x = ln2 ⇒ t = 1

⇒ G = t²dt = =

Đáp án: C

Bài 106: Biết ∫x.e^2xdx = a.x.e^2x + b.e^2x + C , với a,b ∈ Q . Tính tích a.b

A. a.b = -    B. a.b =    C. a.b = -    D. a.b =

Lời giải:

Đặt

⇒ I = .x.e^x - ∫ .e^2xdx = .x.e^x - .e^2xdx + C

Suy ra ⇒ a.b = -

Đáp án: C

Bài 107: Biết , với a,b là các số nguyên. Tổng a + b là

A. -1    B. 1    C. 0    D. .

Lời giải:

Do a,b ∈ Z ⇒ ⇒ a + b = 0

Đáp án: C

Bài 108: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Vì x⁴ + x² + 1 ≥ 0 , ∀x ∈ [-1;2018] ⇒

Đáp án: D

Bài 109: Tính tích phân I = |x - 2|dx ta được kết quả

A.    B. 1    C.    D. 2

Lời giải:

Do x - 2 < 0 , ∀x ∈ [0;1] ⇒ I = - |x - 2|dx = =

Đáp án: C

Bài 110: Tính tích phân I = |x² - 3x + 2|dx ta được kết quả

A. -    B.     C.    D. 19

Lời giải:

I = (x² - 3x + 2)dx - (x² - 3x + 2)dx + (x² - 3x + 2)dx

=

Đáp án: B

Bài 111: Tính các tích phân sau:

a/ (2cosx - sin2x)dx

A. -1    B.0     C. 1    D. 2

b/ sin3x.cosx.dx

A. -1    B. 0    C. 0,5    D. 5

Lời giải:

a) (2cosx - sin2x)dx = 2 cosxdx + sin2xdx = 2sinx + cos2x = 1

Đáp án: C

b) sin3x.cosx.dx = (sin4x + sin2x)dx = ( sin4xdx + sin2xdx)

= (- cos4x - cos2x) = [(- cos2π - cosπ) - (- cos0 - cos0)]

= (- + + + ) =

Đáp án: C

Bài 112: Tính tích phân sau: I =

A. 1 + ln3-ln2    B. 2 - ln3 + ln2    C. 1 + 0,5(ln3 - ln2)    D. Đáp án khác

Lời giải:

I =

Đặt t = ⇒ x² = t² - 1 ⇒ xdx = tdt

Đổi cận: x = √3 ⇒ t = 2; x = 2√2 ⇒ t =3

=

Đáp án: C

Bài 113: Tính tích phân sau J =

A. ln4    B. ln5 - ln3    C. ln15    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đặt t = ⇒ x² = t² - 4 ⇒ xdx = tdt

Đổi cận: x = √5 ⇒ t =3; x=2√3 ⇒ t = 4

Đáp án: D

Bài 114: Tính các tích phân sau: I =

A. 16/5     B. 20/3     C. 32/9    D. 28/5

Lời giải:

I =

Đặt t = ⇒ e^x = t² + 1 ⇒ e^xdx = 2tdt

Đổi cận: x = ln2 ⇒ t =1; x = ln5 ⇒ t = 2

Đáp án: B

Bài 115: Tính các tích phân sau: I = sin⁵xdx

A. 4/15    B. 6/15    C. 8/15    D. 3

Lời giải:

Ta có: I = (1 - cos²x)²sinx.dx .

Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx

Đổi cận : x = 0 ⇒ t=0; x = ⇒ t = 1

I = (1 - t²)²dt = (1 - 2t² + t⁴)dt = 8/15

Đáp án: C

Bài 116: Tính các tích phân sau:

a) I =

A; -1    B. 0    C.1    D.2

b) I =

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

a) Đặt X = sint ta có dx = costdt Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = .

Vậy I = = |cost|dt = costdt = sint = 1

Đáp án: C

b) Đặt x = tant, ta có dx = (1 + tan²t)dt .

Đổi cận:

Vậy I = = dt = t =

Đáp án: B

Bài 117: Tính tích phân x.e^xdx

A. 0    B. 1    C. 2    D.3

Lời giải:

x.e^xdx

Đặt

Vậy x.e^xdx = x.e^x - e^xdx = e - e^x = e - (e - 1) = 1

Đáp án: B

Bài 118: Tính các tích phân sau: A =

A. - ln    B. - + ln    C. + ln    D. - - ln

Lời giải:

Đặt

= (x.tanx) - tanxdx = -

= + (ln|cosx|) = + (ln - ln1 ) = + ln

Đáp án: C

Bài 119: Tính x.e^2xdx

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Đặt

Khi đó: x.e^2xdx = x.e^2x - e^2xdx = x.e^2x - e^2x = e² - e² + =

Đáp án: D

Bài 120: Tính C = x².cosxdx

A. - 2    B - 2    C. + 2    D. + 2

Lời giải:

Đặt

x².cosxdx = x²sinx - 2 x.sinx.dx = - 2 x.sinx.dx

* Tính : I = x.sinx.dx

Đặt

I = x.sinx.dx = -x.cosx + cosxdx = -x.cosx + sinx = 1

Thế I = 1 vào C ta được : x².cosxdx = - 2

Đáp án: A

Bài 121: Tính các tích phân sau :

a)I = x.sinx.dx

A. -1     B. 0    C. 1    D. 2

b) I = x.ln(x + 1)dx .

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

a/ Đặt ta có .

Do đó I = x.sinx.dx = (-x.cosx) + cosxdx = 0 + sinx = 1

Đáp án: C

b) Đặt ta có

I = x.ln(x + 1)dx

=

=

Đáp án: D

Bài 122: Tính các tích phân sau : I = (2x + 3).sin4x.dx .

A. I = -    B. I = +    C. I = +    D. I = + 3 .

Lời giải:

I = (2x + 3).sin4x.dx

Đặt ta có

⇒ I = (- (2x + 3)cos4x) + cos4x.dx = (- (2x + 3)cos4x + . .sin4x) = +

Đáp án: C

Bài 123: Tính các tích phân sau I = x.cosx.dx

A. I = + 1    B. I = 1 -    C. I =    D. I = - 1

Lời giải:

Đặt

⇒ I = x.sinx - sinxdx = + cosx = - 1.

Đáp án: D

Bài 124: Tính các tích phân sau :

a) Tính tích phân I = sin²x.cos²xdx

A. I =    B. I =    C. I =    D. I =

b) Tính tích phân I = sin²x.cos³xdx .

A. I =    B. I =    C. I =    D. I = - .

Lời giải:

a/ta có

I = sin²x.cos²xdx = sin²2x = (1 - cos4x)dx = (x - sin4x) =

Đáp án: C

b.Ta có.

I = sin²x.cos³xdx = sin²x.cos²x.cosxdx

Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx ; Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1

Do đó I = t²(1 - t)²dt = =

Đáp án: B

Bài 125: Tính các tích phân sau:

a/ I = sin2x.sin3xdx

A. 1/2    B. 2/3    C. 3/4    D. 4/5

b/ I = cos⁴2xdx

A. + 1    B.    C. - 8    D. - 6

Lời giải:

a) Ta có: I = (cosx - cos5x)dx = (sinx - sin5x) = .

Đáp án: D

b) Ta có: cos⁴2x = (1 + 2cos4x + cos²4x) = (3 + 4cos4x + cos8x)

Nên I = (3 + 4cos4x + cos8x)dx = (3x + sin4x + sin8x) =

Đáp án: B

Bài 126: Tính tích phân sau: I =

A. 1 + ln2 + ln

B. 1 + ln3 - ln

C. 1 + ln3 + ln

D. 1 + ln3 + ln

Lời giải:

Ta có:

=

Suy ra I = = 1 + ln3 + ln

Đáp án: C

Bài 127: Tính J =

A. ln8 - ln5    B. ln8 + ln5 + 5/6    C. ln8 + 2ln5 - 3    D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: x³ - 3x + 2 = (x - 1)²(x + 2)

2x + 3 = a(x - 1)² + b(x + 2)(x - 1) + c(x + 2)

⇔ 2x + 3 =(a + b)x² + (c - 2a + b)x + a - 2b + 2c

Đáp án: D

Bài 128: Tính

A. 1     B. 3/4     C. 14/5    D. 12/5

Lời giải:

Đặt t = ⇔ t³ = 2x + 2 ⇔ x = ⇒ dx = t²dt

Đổi cận : x = - ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2 .

Ta có : I = .

Đáp án: D

Bài 129: Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y = (x - 2)² và y = 4 . Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Oy

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

D quay xung quanh trục Oy:

Ta có: y = (x - 2)² ⇔ x - 2 = √y ⇔ x = 2 √y

V = = đvtt

Đáp án: D

Bài 130: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x³, y = 4x là:

A. 8    B. 9    C. 12    D. 13

Lời giải:

Ta có x³ = 4x ⇔ x = -2 ν x = 0 ν x = 2

⇒ S = = 8

Vậy S = 8 (đvdt).

Đáp án: A

Bài 131: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³, trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = 3 là

A. 19    B. 18    C. 20    D. 21

Lời giải:

Ta có x³ ≥ 0 trên đoạn [1;3] nên S = |x³|dx = x³dx = = 20

Đáp án: C

Bài 132: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị hàm số y = x³ , trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2

A. 6    B. 7    C. 8    D.9

b) Đồ thị hàm số y = x + x^-1 , trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2

A. 1 - ln 2    B. 2-ln3    C. 1,5 - ln2    D. 1 - ln3

b/ Ta có: S = = 2 + ln2 - - ln1 = - ln2

Lời giải:

a/ Ta có trên [-2;0], x³ ≤ 0 . Trên [0; 2], x³ ≥ 0

S = |x³|dx = (-x³)dx + x³dx =

= − .(-16) + .16 = 8 ( ĐVDT)

Đáp án: C

b/ Ta có: S = = 2 + ln2 - - ln1 = - ln2

Đáp án: C

Bài 133: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a) Đồ thị hàm số y = e^x +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1

A. e    B. 2+e    C. e-1    D. 2e+1

b) Đồ thị hàm số y = x³ - 4x , trục hoành , đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4

A. 18    B. 24    C. 32    D.36

Lời giải:

a/ Ta có: S = (e^x + 1)dx = (e^x + x) = e + 1 - 1 = e

Đáp án: A

b/Ta có: S = (x³ - 4x)dx = ( - 2x²) = 36 (ĐVDT)

Đáp án: D

Bài 134: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:

y = x³ - 4x, x = -3, x = 1, y = 0

A. 10    B. 11    C. 12    D. 24

Lời giải:

Ta có diện tích cần tính là: S_D = |x³ - 4x|dx.

Mà x³ - 4x = 0 ⇔ x = 0, x = 2 nên ta có bảng xét dấu

Do vậy S_D = (-x³ + 4x)dx + (x³ - 4x)dx + (-x³ + 4x)dx

= = 12 (đvdt)

Đáp án: C

Bài 135: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:

y = sin²x.cosx, x = 0, x = π , y = 0

A. 1    B. 2/3    C. 2    D. Đáp án khác

Lời giải:

Diện tích cần tính là:

S_D = |sin²x.cosx|dx = sin²x.cosx.dx - sin²x.cosx.dx

= sin³x - sin³x = (đvdt) .

Đáp án: B

Bài 136: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: y = x.(e^x - 1), x = -1, x = 2 và trục Ox .

A. e² + -    B. e² - -    C. e² + +    D. e² + -

Lời giải:

Diện tích cần tính là: S_D = |x(e^x - 1)|dx

Vì x.(e^x - 1) ≥ 0 ∀x ∈ [-1;2] nên ta có

S_D = x(e^x - 1)dx = (x.e^x - x)dx = (x.e^x - e^x - x²)

= 2.e² - e² - 2 - (-e^-1 - e^-1 - ) = e² + - (đvdt).

Đáp án: A

Bài 137: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Đồ thị hàm số y = x³ - x; y = x - x².

A. 12/9    B. 37/12    C. 32/7    D. 25/8

Lời giải:

Đặt f₁(x) = x³ - x, f₂(x) = x - x²

Ta có f₁(x) - f₂(x) = 0 ⇔ x³ + x² - 2x = 0 có 3 nghiệm x = -2; x = 0 ; x = 1

Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là :

S = |x³ + x² - 2x|dx = | (x³ + x² - 2x)dx| + | (x³ + x² - 2x)dx| =

Đáp án: B

Bài 138:

a.Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = 4 là

A. 4    B.    C.    D.

b. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số I = , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = 8 là

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

a.Ta có √x ≥ 0 trên đoạn [1;4] nên S = |√x|dx = √xdx = =

Đáp án: D

b.Ta có ≥ 0 trên đoạn [1;8] nên S = | |dx = dx = =

Đáp án: B

Bài 139: Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y = (x - 2)² và y = 4 . Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Ox

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

D quay xung quanh trục Ox:

V = π [4² - (x - 2)⁴]dx

V = 64π - π (X - 2)⁴dx

V = 64π - =

Đáp án: D

Bài 140: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành và hai đường thẳng x = π , x = là

A. 1    B.    C. 2    D.

Lời giải:

Ta có sinx ≤ 0 trên đoạn [π; ] nên

S = |sinx|dx = - sinxdx = cosx = 1

Đáp án: A

Bài 141: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx , trục hoành và hai đường thẳng x = , x = là

A. ln    B. ln    C. -ln    D. -ln

Lời giải:

Ta có tanx ≥ 0 trên đoạn [ ; ] nên

S = |tanx|dx = tanxdx = -ln(cos) = -ln

Đáp án: D

Bài 142: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^2x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là

A. +    B. -    C. +    D. -

Lời giải:

Ta có e^2x ≥ 0 trên đoạn [0;3] nên

S = |e^2x|dx = e^2xdx = e^2x = -

Đáp án: B

Bài 143: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³ - 3x² , trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = 4 là

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Ta có x³ - 3x² = 0 ⇔ x = 3 ∈ [1;4]

Khi đó diện tích hình phẳng là

S = |x³ - 3x²|dx = | (x³ - 3x²)dx| + | (x³ - 3x²)dx|

= =

Đáp án: B

Bài 144: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x⁴ - 3x² - 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

Ta có x⁴ - 3x² - 4 = 0 ⇔ x = 2 ∈ [0;3]

Khi đó diện tích hình phẳng là

S = |x⁴ - 3x² - 4|dx = | (x⁴ - 3x² - 4)dx| + | (x⁴ - 3x² - 4)dx|

=

Đáp án: C

Bài 145: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , trục hoành và đường thẳng x = 2 là

A. 3 + 2.ln2    B. 3 - ln2    C. 3 - 2.ln2    D. 3 + ln2

Lời giải:

Ta có x + 1 = 0 ⇔ x = -1 nên

S = = |(x - ln|x + 2|) | = 3 - 2.ln2

Đáp án: C

Bài 146: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x² và đường thẳng y = -x là

A.    B.    C. 3    D.

Lời giải:

Ta có 2 - x² = -x ⇔ và 2 - x² ≥ -x , ∀x ∈ [-1;2]

Nên S = (2 + x - x²)dx = (2x + - ) =

Đáp án: D

Bài 147:

a/ Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = là

A. 2    B. 1    C. 3    D. 4

b/. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = √x và y = là

A.    B.    C.    D.

Lời giải:

a/ Ta có cos2x = 0 ⇔ x = ∈ [0; ]

Nên S = |cos2x|dx = = 1

Đáp án: B

b/ Ta có √x = ⇔

Nên S = |√x - |dx = | (√x - )dx| = =

Đáp án: A

Bài 148:

a/Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x² + 4 , đường thẳng x = 3 , trục tung và trục hoành là

A.    B.    C.    D.

b/ . Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x² và đường thẳng y = -x là

A.    B.    C. 3    D.

Lời giải:

a.Xét pt -x² + 4 = 0 trên đoạn [0;3] có nghiệm x = 2

Suy ra S = |-x² + 4|dx + |-x² + 4|dx =

Đáp án: D

Ta có 2 - x² = -x ⇔ và 2 - x² ≥ -x , ∀x ∈ [-1;2]

Nên S = (2 + x - x²)dx = (2x + - ) =

Đáp án: A

Bài 148: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1 , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0≤x≤1) là một đường tròn có độ dài bán kính R = x .

A. + 1    B.    C. - 1    D. + 3

Lời giải:

Ta có diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) là:

S(x) = πR² = πx²(x + 1) = π(x³ + x²)

Nên thể tích cần tính là: V = π (x³ + x²)dx = π( + ) = (đvtt).

Đáp án: B

Bài 149:

a/ Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x - x² , trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox .

A. V =    B. V =    C. V =    D. V = .

b/ Tính thể tích V của hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 - x², y = x² + 2 quay quanh trục Ox .

A. V = 14π .    B. V = 15π .    C. V = 16π .    D. V = 17π .

Lời giải:

a/ Phương trình HĐGĐ 2x - x² = 0 ⇒

⇒ V = π (2x - x²)²dx = π (4x² - 4x³ + x⁴)dx = = .

Đáp án: D

b. Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số:

4 - x² = x² + 2 ⇒

Thể tích cần tìm: V = π [(4 - x²)² - (x² + 2)²]dx = 12π (1 - x²)²dx = 16π .

Đáp án: C

Bài 150: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² + 1 và y = 4x - 2 . Tính thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox .

A. V =    B. V =    C. V =    D. V = .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

x² + 1 = 4x - 2 ⇔ x² - 4x + 3 ⇔

V = π ((4x - 2)² - (x² + 1)²)dx = .

Đáp án: C