150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao) - Toán lớp 12
150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao)
Với 150 bài tập trắc nghiệm Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng có lời giải (nâng cao) Toán lớp 12 tổng hợp 150 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
Bài 1: Kết quả tính 
bằng
A. 
- ln|2 - x| + C.
B.
+ ln|2 - x| + C .
C. 
- ln|2 - x| + C .
D.
+ ln|2 - x| + C .
Lời giải:
Ta có:
Nên
= 
=
- ln|2 - x| + C
Đáp án: A
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin3x.sin3x .
A. ∫f(x)dx = 
(
- 
) - 
(x - 
) + C.
B. ∫f(x)dx =
(
-
) +
(x -
) + C.
C. ∫f(x)dx =
(
-
) -
(x -
) + C.
D. ∫f(x)dx =
(
+
) -
(x +
) + C.
Lời giải:
∫sin3x.sin3x.dx = ∫
.sin3x.dx
=
∫2sinx.sin3x.dx -
∫2sin23xdx =
∫(cos2x - cos4x)dx -
∫(1 - cos6x)dx
=
(
-
) -
(x -
) + C
Đáp án: A
Bài 3: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 
là hàm số nào?
A. F(x) = ln|x| - 
+ x - 
+ C .
B. F(x) = ln|x| +
+ x -
+ C .
C. F(x) =
- 
+ ln|x| + C .
D. F(x) =
+
+ lnx + C .
Lời giải:
f(x) =
=
+ 
+ 1 + 
.
∫f(x)dx = ∫(
+
+ 1 +
)dx = F(x) = ln|x| -
+ x -
+ C
Đáp án: A
Bài 4: Giá trị m để hàm số F(x) = mx3 + (3m + 2)x2 - 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 + 10x - 4 là:
A. m = 1 . B. m = 0 . C. m = 2 . D. m = 3 .
Lời giải:
∫(3x2 + 10x - 4)dx = x3 + 5x2 - 4x + C , nên m = 1 .
Đáp án: A
Bài 5: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = sin4(2x) thoả mãn
F(0) =
. Khi đó F(x) là:
A. F(x) =
(x + 1)-
sin4x + 
sin8x
B. F(x) =
x -
sin4x +
sin8x
C. F(x) =
x +
sin2x +
sin4x +
D. F(x) = x - sin4x + sin6x +
.
Lời giải:
sin42x = 
= 
(1 - 2cos4x + cos24x) =
(1 - 2cos4x + 
)
=
- 
+ 
Nên ∫sin42x.dx = ∫(
-
+
)dx =
x - 
+ 
+ C .
Vì F(0) =
nên suy ra đáp án A.
Đáp án: A
Bài 6: Biết hàm số f(x) = (6x + 1)2 có một nguyên hàm là F(x) = ax3 + bx2 + cx + d thoả mãn điều kiện F(-1) = 20. Tính tổng a + b + c + d .
A. 46 . B. 44 . C. 36 . D. 54 .
Lời giải:
∫(6x + 1)2dx = ∫(36x2 + 12x + 1)dx = 12x3 + 6x2 + x + C nên a = 12, b = 6, c = 1
Thay F(-1) = 20, d = 27
Ta có: a + b + c + d = 46
Đáp án: A
Bài 7: Tìm nguyên hàm: I = 
A. ln
+ C
B. ln
+ C
C. ln
+ C
D. ln
+ C
Lời giải:
Ta có: I =
. Đặt t = ex ⇒ dt = exdx
Suy ra: I = 
= ln
+ C
Đáp án: D
Bài 8: Tìm nguyên hàm I = 
A. 2[ 
- 
- 
+ ln(
+ 1)] + C
B.
-
-
+ ln(
+ 1) + C
C. 2[
-
+
+ ln(
+ 1)] + C
D.
+
-
+ ln(
+ 1) + C
Lời giải:
Đặt t =
⇒ ex = t2 - 2 ⇒ exdx = 2tdt
I = 
= 2∫(t2 - t - 1 + 
)dt = 2(
- 
- t + ln|t + 1|) + C
= 2[
-
-
+ ln(
+ 1)] + C
Đáp án: A
Bài 9: Tìm nguyên hàm của hàm s : K = 
A. 
ln
- ln
+ C
B. 
ln
- ln
+ C
C.
ln
- ln
+ C
D.
ln
- 2ln
+ C
Với t= 
Lời giải:
Đặt t=
⇒ ex = -
⇒ exdx = -
dt
⇒ dx = 
dt
K = 30
= 
=
ln
- ln
+ C,
với t=
Đáp án: C
Bài 10: Tìm nguyên hàm của hàm số J = 
A. 
(
+
- t + ln(t + 1)) + C
B.
(
-
- t + ln(t + 1)) + C
C.
(
-
- t + ln(t - 1)) + C
D.
(
-
- t - ln(t + 1)) + C
Với t= 
Lời giải:
Đặt t=
⇒ lnx = 
⇒ 
= 
tdt
Suy ra J = 
=
∫(t2 - t - 1 + 
)dt =
(
-
- t + ln(t + 1)) + C
với t=
.
Đáp án: B
Bài 11: Tìm nguyên hàm:
a/ I = 
A. 
B. 
C. 
D. 
b/ K = 
A. 
+ C
B. 
+ C
C. 
+ C
D. 
+ C
Lời giải:
a. Đặt t = lnx ⇒ dt =
Suy ra I = ∫(t2 + 1)dt = (
+ t) + C =
.
Đáp án: B
b. Đặt t = 
⇒ ln2x = t3 - 2 ⇒ 
= 
t2dt
Suy ra I =
∫t3dt =
t4 + C =
+ C
Đáp án: A
Bài 12: Tìm nguyên hàm của I = 
A. 
+ C
B.
ln|tanx|+ C
C.
ln|tan2x|+ C
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: 
Đặt t = tanx ⇒ dx = 
Ta được: I = 
Đáp án: D
Bài 13: Tìm nguyên hàm của: J = 
A. 
ln|tan
| - x + C
B.
ln|tan
+ 4| - lnx + C
C.
ln|tan
+ 3| - 2x + C
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đặt t = tan
⇒ dx = 
và sinx = 
cosx = 
Suy ra : 2cosx - sinx + 1 = 
Đáp án: D
Bài 14: Tìm nguyên hàm: I = 
A. 16 (
- 
+ 
- 
) + C
B. 16 (
+
+
-
) + C
C. 16 (
-
+
+
) + C
D. Tất cả sai
Lời giải:
Ta có: tan (x + 
)tan(x -
) = 
= -1
Suy ra: I = -16∫sin4x.cos6x.cosx.dx
Đặt t = sinx ⇒ dt = sinx.dx nên ta có:
I = -16∫t4(1 - t2)3dt = 16∫t4(t6 - 3t4 + 3t2 - 1)dt
= 16 (
- 
+ 
- 
) + C = 16 (
-
+
-
) + C
Đáp án: A
Bài 15: Tìm nguyên hàm: I = 
A.
x +
ln|ex + 4e-x| + C
B.
x + lnex + 4e + C
C.
+
lnex + 4e-x + C
D. Đáp án khác
Lời giải:
Xét J = 
Ta xét hệ : 
⇒ 2I = x + ln|ex + 4e-x| + C1 + C2
hay
x +
ln|ex + 4e-x| + C
Đáp án: A
Bài 16: Tìm nguyên hàm J = 
A. 
- 
+ C
B. 
- 
+ C
C.
+ 2
+ C
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có : 
Đặt t = 
⇒ dt = -
dx
Suy ra 
Đáp án: D
Bài 17: Tìm nguyên hàm: J = 
A. -
ln|x3 + 2|-
ln|x3| - 2ln|x3 + 1| + C
B. -ln|x3 + 2|-
ln|x3| + 2ln|x3 + 1| + C
C. -
ln|x3 + 2| +
ln|x3| - 2ln|x3 + 1| + C
D. -
ln|x3 + 2|-
ln|x3| + 2ln|x3 + 1| + C
Lời giải:
Đặt t = x3 ⇒ dt = 3x2dx
Khi đó; ta có:
I = 
+ Thực hiện đồng nhất thức ta có:
t - 1= -
t(t + 1) -
(t + 1)(t + 2) + 2t(t + 2)
⇒ 
khi đó: 
= -
ln|t + 2|-
ln|t| + 2ln|t + 1| + C
= -
ln|x3 + 2|-
ln|x3| + 2ln|x3 + 1| + C
Đáp án: D
Bài 18: Tìm nguyên hàm: J = 
A. 
ln
+ 
+ C
B. ln
+
+ C
C.
ln
- 2
+ C
D.
ln
- 5
+ C
Lời giải:
Đặt t = x6 ⇒ I = 
Suy ra I =
ln
+
+ C.
Đáp án: A
Bài 19: Hàm số f(x) = x
có một nguyên hàm là F(x) . Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
.
Lời giải:
Đặt t =
⇒ 2tdt = dx
∫x
dx = ∫(2t4 - 2t2)dt = 
t5 -
t3 + C =
5 -
3 + C
Vì F(0) = 2 nên C = 
. Thay x = 3 ta được F(3) =
.
Đáp án: A
Bài 20: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xcosx thỏa mãn F(0) = 1 . Khi đó phát biểu nào sau đây đúng?
A. F(x) là hàm số chẵn.
B. F(x) là hàm số lẻ.
C. Hàm số F(x) tuần hoàn với chu kì là 2π .
D. Hàm số F(x) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Lời giải:
∫xcosxdx = x.sinx + cosx + C
F(0) = 1 nên C = 0 . Khi đó F(x) = x.sinx + cosx
Do đó g(x) = x.sinx là hàm số chẵn; h(x) = cosx là hàm số chẵn nên F(x) = g(x) + h(x) là hàm số chẵn.
Đáp án: A
Bài 21: Một nguyên hàm F(x) của hàm số
f(x) = 
thỏa mãn F(0) = 0 là
A. ln
B. ln|1 + sin2x| .
C. 
D. ln|cos2x| .
Lời giải:
Đặt t = sin2x + 3 ⇒ dt = 2sinx.cosx.dx
∫
dx = ∫
= ln|t| + C = ln|sin2x + 3| + C
vì F(0) = 0 nên C = -ln3 .
Đáp án: A
Bài 22: Tìm nguyên hàm: I = ∫sinx.ln(cosx)dx
A. –cosx.ln(cosx) - cosx + C B. cosx.lnsinx + sinx + C
C.-sinx.ln(cosx) - cosx + C D. sinx.ln(sinx) - sinx + C
Lời giải:
Đặt 
ta chọn 
Suy ra I = -cosx.ln(cosx) + ∫sinxdx = –cosx.ln(cosx) - cosx + C
Đáp án: A
Bài 23: Tìm nguyên hàm: J = ∫xln.
dx
A.
x2 - 2ln|x + 1| + 2.
+ C
B.
x2 + 12ln|x + 1| -
+ C
C.
x2 - 2ln|x + 1| -
+ C
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đặt 
ta chọn 
Suy ra 
=
x2 - 2ln|x + 1| -
+ C
Đáp án: C
Bài 24: Cho f(x) = 
+ sin2x . Tìm m để nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và F(
) = 
.
A. -
B.
C. -
D.
.
Lời giải:
∫(
+ sin2x)dx = ∫(
+ 
)dx=
x +
- 
+ C
vì F(0) = 1 nên C = 1
F(
) =
nên tính được m = -
Đáp án: A
Bài 25: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 
.
A. ∫f(x)dx = ln|sinx| -
ln|1 - sin2x| + C .
B. ∫f(x)dx = ln|sinx| +
ln|1 - sin2x| + C
C. ∫f(x)dx =
ln|sinx| -
ln|1 - sin2x| + C
D. ∫f(x)dx = -ln|sinx| -
ln|1 - sin2x| + C .
Lời giải:
|1 - sinx| + ln|sinx| -
ln|1 + sinx| + C = ln|sinx| -
ln|1 - sin2x| + C
Đáp án: A
Bài 26: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 
.
A. ∫f(x)dx = cos2x - 2cosx + C .
B. ∫f(x)dx =
cos2 - 2cosx + C.
C. ∫f(x)dx = cos2 + cosx + C.
D. ∫f(x)dx =
cos2 + 2cosx + C.
Lời giải:
∫2(cosx - 1)d(cosx) = cos2x - 2cosx + C .
Đáp án: A
Bài 27: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 
.
A. ∫f(x)dx = 
+ C
B. ∫f(x)dx = -
+ C
C. ∫f(x)dx = 
+ C
D. ∫f(x)dx = 
+ C.
Lời giải:
∫
dx = ∫cot3x.
= ∫cot3x.d(cotx) = -
+ C
Đáp án: B
Bài 28: Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) = cos2x.(sin4 + cos4x) .
A. ∫f(x)dx =
sin2x - 
sin32x + C
B. ∫f(x)dx =
sin2x +
sin32x + C
C. ∫f(x)dx = sin2x -
sin32x + C
D. ∫f(x)dx =
sin2x -
sin32x + C.
Lời giải:
∫cos2x.(sin4 + cos4x)dx = ∫cos2x((sin2x + cos2x) - 2.sin2x.cos2x)dx
= ∫cos2x(1 -
sin22x)dx = ∫cos2xdx -
∫sin22x.cos2xdx
= ∫cos2xdx -
∫sin22x.d(sin2x) =
sin2x -
sin32x + C
Đáp án: A
Bài 29: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (tanx + e2sinx)cos .
A. ∫f(x)dx = -cosx +
e2sinx + C .
B. ∫f(x)dx = cosx +
e2sinx + C .
C. ∫f(x)dx = -cosx + e2sinx + C .
D. ∫f(x)dx = -cosx -
e2sinx + C.
Lời giải:
∫(tanx + e2sinx)cosxdx = ∫sinxdx + ∫e2sinxd(sinx) = -cosx +
e2sinx + C
Đáp án: A
Bài 30: Tìm nguyên hàm: I = 
A. 
+
(x +
ln
) + C
B.
+
(x + ln
) + C
C. -
+
(x +
ln
) + C
D. 
-
(x +
ln
) + C
Lời giải:
Đặt 
suy ra 
I = -
+
∫(1 + 
)dx = -
+
(x +
ln
) + C
Đáp án: C
Bài 31: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 
.
A. ∫f(x)dx = -
cot(
+ 
) + C
B. ∫f(x)dx =
cot(
+
) + C.
C. ∫f(x)dx = -
cot(
+ 
) + C.
D. ∫f(x)dx = -
cot(
-
) + C .
Lời giải:
Đáp án: A
Bài 32:Tìm nguyên hàm: I = 
A. tanx - 2x + sin2x + C B. tanx - 1,5x + 0,25sin2x + C
C. cot2x - 0,5x - cos2x + C D. Đáp án khác
Lời giải:
I =
I = ∫(
+ cos2x - 2)dx
I = tanx - 2x + ∫
+
∫cos2xd(2x) = tanx - 1,5x + 0,25sin2x + C
Đáp án: B
Bài 33: Tìm nguyên hàm: I = ∫cos42xdx
A. 3x + sin4x + sin8x + C B. 2x - cos2x - sin4x + C
C. 3x/8 + sin4x + sin8x + C D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: cos42x =
(1 + cos4x)2 =
(1 + 2cos4x + cos24x)
=
(1 + 2cos4x + 
) = 
(3 + 4cos4x + cos8x)
⇒ I =
∫(3 + 4cos4x + cos8x)dx =
(3x + sin4x +
sin8x) + C
Đáp án: D
Bài 34: Tìm nguyên hàm: J = ∫(cos3x.cos4x + sin32x)dx
A. 
sin7x -
sinx -
cos2x + 
cos6x + C
B.
sin7x +
sinx +
cos2x +
cos6x + C
C.
sin7x +
sinx -
cos2x +
cos6x + C
D.
sin7x +
sinx -
cos2x - 2
cos6x + C
Lời giải:
Ta có : cos3x.cos4x =
(cos7x + cosx)
sin32x =
sin2x -
sin6x
Nên suy ra: J = ∫(
cos7x +
cosx +
sin2x -
sin6x )dx
=
sin7x +
sinx -
cos2x +
cos6x + C .
Đáp án: C
Bài 35: Tìm nguyên hàm: I = 
A. 
+ C
B.
+ x + C
C. x.lnx + C
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có : 
Vậy I = ∫(
)'dx =
+ C .
Đáp án: A
Bài 36: Tìm nguyên hàm J = 
A. 
+ C
B. -
+ C
C. -
+ C
D.
+ 2x + C
Lời giải:
Ta có : 
Suy ra I = -∫(
)'dx = -
+ C.
Đáp án: C
Bài 37: Hàm số F(x) = ln|sinx - cosx| là một nguyên hàm của hàm số
A. f(x) = 
B. f(x) = 
C. f(x) = 
D. f(x) = 
.
Lời giải:
Đáp án: A
Bài 38: Kết quả tính ∫2x.ln(x - 1)dx bằng:
A. (x2 - 1).ln(x - 1) -
- x + C
B. x2.ln(x - 1) -
- x + C
C. (x2 + 1).ln(x - 1) -
- x + C
D. (x2 - 1).ln(x - 1) -
+ x + C .
Lời giải:
Đặt 
Ta có ∫2x.ln(x - 1)dx = (x2 - 1).ln(x - 1) - ∫(x + 1)dx = (x2 - 1).ln(x - 1) -
- x + C
Đáp án: A
Bài 39:
a/Tính ∫ecos2xsin2x.dx bằng:
A. esinx + x + c B. -ecos2x + C C. e-2sinx + C D. -esin2x + C.
b/. Tính ∫esin2xsin2x.dx bằng:
A. esin2x + C B. esin2x + C C. ecos2x + C D. e2sinx + C .
Lời giải:
a/ ∫ecos2xsin2x.dx = - ∫ecos2xd(cos2x) = -ecos2x + C
Đáp án: B
b. ∫esin2xsin2x.dx = ∫esin2xd(sin2x) = esin2x + C
Đáp án: A
Bài 40: Biết hàm số F(x) = -x.
+ 2017 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 
. Khi đó tổng của a và b là
A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
Lời giải:
Ta có F(x) = (-x.
+ 2017)' = 
Nên a=3; b=-1
⇒ a + b = 3 + (-1) = 2
Đáp án: B
Bài 41: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 
A. F(x) = 
(x2 - 8)
+ C
B. F(x) =
x2
+ 8
+ C
C. F(x) =
(8 - x2)
+ C
D. F(x) = 
(x2 - 8)
+ C.
Lời giải:
Đặt t =
⇒ x2 = t2 - 1 ⇒ xdx = tdt . Khi đó
= ∫(t2 - 3)dt = 
- 3t + C
= 
- 3
+ C =
(x2 - 8)
+ C
Đáp án: A
Bài 42: Tìm nguyên hàm của hàm số: I = 
A. 
(-
+ ln|
- 
|) + 2x + C
B.
(
+ ln|
-
|) + C
C.
(-
+ ln|
-
|) + C
D.
(-
+ ln|
-
|) - x + C
Lời giải:
Ta có: 
Suy ra I =
(-
+ ln|
-
|) + C.
Đáp án: C
Bài 43: Tìm nguyên hàm của hàm số J = 
A. 
+ 12x + 5ln|x+1| + 
+ C
B.
- 2x + 5ln|x+1| -
+ C
C.
- 2x - 5ln|x+1| +
+ C
D.
- 2x + 5ln|x+1| +
+ C
Lời giải:
Ta có: x3 + 2x + 1 = (x + 1)3 - 3(x + 1)2 + 5(x + 1) - 2
Suy ra I = ∫(x - 2 + 
+ 
)dx =
- 2x + 5ln|x+1| +
+ C
Đáp án: D
Bài 44: Tinh nguyên hàm của hàm số sau K = 
A. -
+ 
-
+ C
B. -
+ 
- 
+ C
C.
+
+
+ C
D. -
+
- 
+ C
Lời giải:
Ta phân tích 2x2 + 1 = 2(x + 1)2 - 4(x + 1) + 3
Suy ra: K = 
= -
+
-
+ C
Đáp án: B
Bài 45: Tính F(x) = 
. Hãy chọn đáp án đúng.
A. F(x) = 
+ C
B. F(x) = 
+ C
C. F(x) = 
+ C
D. F(x) = -
+ C
Lời giải:
Đáp án: A
Bài 46: Biết hàm số F(x) = (mx + n)
là một nguyên hàm của hàm số
f(x) = 
. Khi đó tích của m và n là
A. 2
B. -2
C. -
D. -
Lời giải:
Cách 1: Tính 
= (-
x +
)
+ C .
Suy ra m = -
; n =
⇒ m.n = -
Cách 2: Tính F'(x) = 
Suy ra 
⇒ m.n = -
Đáp án: D
Bài 47: Biết hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 
có đồ thị đi qua điểm (e;2016) . Khi đó hàm số F(1) là
A. √3 + 2014 B. √3 + 2016 C. 2√3 + 2014 D. 2√3 + 2016
Lời giải:
Đặt t = 
và tính được F(x) =
+ C .
F(e) = 2016 ⇒ C = 2014 ⇒ F(x) =
+ 2014 ⇒ F(1) = √3 + 2014
Đáp án: A
Bài 48: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = ln(x + 
) thỏa mãn F(0) = 1 . Chọn kết quả đúng
A. F(x) = x.ln(x +
) -
+ 2
B. F(x) = x.ln(x +
) -
- 2
C. F(x) = x.ln(x +
) -
+ 1
D. F(x) = x.ln(x +
) -
.
Lời giải:
Đặt u = ln(x +
) ta được
F(x) = x.ln(x +
) -
+ C
Vì F(0) = 1 nên C = 2
Vậy F(x) = x.ln(x +
) -
+ 2 .
Đáp án: A
Bài 49: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 
thỏa mãn F(π) = 2017 . Khi đó F(x) là hàm số nào dưới đây?
A. x.tanx + ln|cosx| + 2017 B. x.tanx - ln|cosx| + 2018
C. x.tanx + ln|cosx| + 2016 D. x.tanx - ln|cosx| + 2017 .
Lời giải:
Đặt u = x, dv = 
dx ta được du = dx, v = tanx
Do đó F(x) = ∫
dx = x.tanx - ∫tanx.dx = x.tanx + ln|cosx| + C .
Vì F(π) = 2017 nên C = 2017 . Vậy F(x) = x.tanx + ln|cosx| + 2017 .
Đáp án: A
Bài 50: Tính F(x) = 
dx . Chọn kết quả đúng
A. F(x) = tanx + 
+ 
+ C
B. F(x) = tanx -
+
+ C
C. F(x) = tanx +
-
+ C
D. F(x) = tanx -
-
+ C .
Lời giải:
Biến đổi F(x) = 
+ 
= tanx + I(x)
Tính I(x) bằng cách đặt u = x, dv = 
dx ta được I(x) =
- 
Tính -
= 
= ln|
| + C
Kết quả F(x) = tanx +
+
+ C
Đáp án: A
Bài 51: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx +
thỏa mãn điều kiện
F(
) = 
là
A. F(x) = -cosx + tanx + 1 - √2 B. F(x) = cosx + tanx + √2 - 1
C. F(x) = -cosx + tanx + √2 - 1 D. F(x) = -cosx + tanx .
Lời giải:
Ta có ∫(sinx +
)dx = -cosx + tanx + C ⇒ F(x) = -cosx + tanx + C
F(
) =
⇔ C = √2 - 1 .
Vậy F(x) = -cosx + tanx + √2 - 1
Đáp án: C
Bài 52: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2.sin5x + √x +
thỏa mãn đồ thị của hai hàm số F(x) và f(x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là
A. F(x) = -
cos5x +
x√x +
x + 1
B. F(x) =
cos5x +
x√x +
x + 1
C. F(x) = 10cos5x + 
+
x + 1
D. F(x) = -
cos5x +
x√x +
x .
Lời giải:
Ta có F(x) = -
cos5x +
x√x +
x + C
và F(0) = f(0) ⇔ C = 1
Vậy F(x) = -
cos5x +
x√x +
x + 1
Đáp án: A
Bài 53: Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-2;3) . Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (-2;3) . Tính I =
(f(x) + 2x)dx , biết F(-1) = 1 , F(2) = 4 .
A. I = 6 B. I = 10 C. I = 3 D. I = 9 .
Lời giải:
Ta có I =
(f(x) + 2x)dx = (F(x) + x2)
= F(2) - F(-1) + 22 - (-1)2 = 6
Đáp án: A
Bài 54: Cho 
f(x)dx = -5,
(f(x) - 2g(x))dx = 9. Tính I =
g(x)dx .
A. I = 14 B. I = -14 C. I = 7 D. I = -7 .
Lời giải:
(f(x) - 2g(x))dx = 9 ⇔
f(x)dx -
2g(x)dx = 9 ⇔
f(x)dx - 2
g(x)dx = 9.
⇔ - 5 - 2I = 9 ⇔ I = -7.
Đáp án: D
Bài 55: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;10] thỏa mãn
f(x)dx = 7 và 
f(x)dx = 3 . Tính P = 
f(x)dx + 
f(x)dx .
A. P = 10 B. P = 4 C. P = 7 D. P = -4 .
Lời giải:
Ta có: P =
f(x)dx +
f(x)dx +
f(x)dx -
f(x)dx
=
f(x)dx -
f(x)dx = 7 - 3 = 4
Đáp án: B
Bài 56: Hàm số F(x) = (ax2 + bx + c)ex là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2ex thì a+b+c bằng:
A. 3 B. 1 C. 3 D. -2 .
Lời giải:
Ta có F'(x) = f(x) ⇔ ax2 + (2a + b)x + b + c = x2
⇔ 
Vậy a + b + c = 1
Đáp án: B
Bài 57: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = a + b.cos2x thỏa mãn
F(0) = 
,F(
) = 
,F(
) = 
là
A. F(x) = -
x + 
sin2x
B. F(x) = -
x +
sin2x +
C. F(x) = -
x -
sin2x +
D. F(x) = -
x +
sin2x -
.
Lời giải:
Ta có F(x) = ax + 
sin2x + C và 
Vậy F(x) = -
x +
sin2x +
Đáp án: B
Bài 58: Cho hàm số F(x) = ax3 + bx2 + cx + 1 là một nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4. Hàm số F(x) là
A. F(x) =
x2 - x + 1
B. F(x) = -
x2 + x + 1
C. F(x) = -
x2 - x + 1
D. F(x) =
x2 + x + 1.
Lời giải:
Ta có f(x) = F'(x) = 3ax2 + 2bx + c và 
Vậy F(x) =
x2 + x + 1 .
Đáp án: D
Bài 59: Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = tanx.sin2x thỏa mãn điều kiện
F(
) = 0 là
A. F(x) = x -
sin2x +
-
B. F(x) = x +
cos2x +
- 1
C. F(x) =
cos3x +
D. F(x) = x +
sin2x -
.
Lời giải:
Ta có ∫tanx.sin2x.dx = ∫(1 - cos2x)dx = x -
sin2x + C ⇒ F(x) = x -
sin2x + C
và F(
) = 0 ⇔ C =
-
Vậy F(x) = x -
sin2x +
-
.
Đáp án: A
Bài 60: Cho hàm số f(x) = tan2x có nguyên hàm là F(x) . Đồ thị hàm số y = F(x) cắt trục tung tại điểm A(0;2) . Khi đó F(x) là
A. F(x) = tanx - x + 2. B. F(x) = tanx + 2 .
C. F(x) =
tan3x + 2 .
D. F(x) = cotx - x + 2 .
Lời giải:
F(x) = ∫f(x)dx = ∫tan2xdx = tanx - x + C.
Vì đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm A(0;2) nên C = 2 .
Vậy F(x) = tanx - x +2 .
Đáp án: A
Bài 61: Tính các tích phân sau: I = 
A. 
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: x = (3x + 1) - (2x + 1) = (
- 
)(
+
)
Nên I = 
(
-
)dx = 
=
Đáp án: B
Bài 62: Tính các tích phân sau J = 
A. 
B. 
C. 
D. 3
Lời giải:
Ta có x =
(
+ 
)(
-
)
Nên 
=
.
Đáp án: C
Bài 63: Tính tích phân sau: 
|x2 - 1|dx
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
Lời giải:
=
|x2 - 1|dx =
-(x2 - 1)dx + 
(x2 - 1)dx = (x - 
)
+ (
- x)
= 1 -
+ 
- 2 -
+ 1 = 2
Đáp án: B
Bài 64: Tính tích phân sau 
|sinx|dx
A. 1 B. 1,5 C. 2 D. 2,5
Lời giải:
|sinx|dx = 
-sinx.dx + 
sinxdx = cos
- cos
= 1 -
+ 1 = 
Đáp án: B
Bài 65: Tính tích phân sau 
A. 2√2 B. 2√2 - 2 C. 3 D. 1
Lời giải:
= 
|cosx - sinx|dx = 
(cosx - sinx)dx + 
(sinx - cosx)dx
= (sinx + cosx)
- (cosx + sinx)
= 2√2 - 2
Đáp án: B
Bài 66: Tính tích phân I = 
|sin2x|dx ta được kết quả :
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Lời giải:
Nếu
≤ x ≤
⇔
≤ 2x ≤ π ⇒ sin2x ≥ 0
Nếu
≤ x ≤ 
⇔ π ≤ 2x ≤ 
⇒ sin2x ≤ 0
Khi đó: I =
|sin2x|dx =
sin2x.dx - 
sin2x.dx
= -
cos2x
+
cos2x
= -
(-1 - 0) +
(0 + 1) = 1
Đáp án: C
Bài 67: Tính tích phân I = 
|x2 - x|dx ta được kết quả I = 
, khi đó ta có:
A. a = 1 B. a = 2 C. a = 3 D. a = 4
Lời giải:
Nhận xét: từ các đáp án ⇒ a ≥ 1
Cho x2 - x = 0 ⇔ 
( thỏa mãn)
Ta có bảng xét dấu của x2 - x trên đoạn [-1; a]
Khi đó I = 
(x2 - x)dx -
(x2 - x)dx + 
(x2 - x)dx
= 
= 
Do I =
⇔
=
⇔ 2a3 - 3a2 - 4 = 0 ⇔ (a - 2)(2a2 + a + 2) = 0 ⇒ a = 2
Đáp án: B
Bài 68: Tính tích phân I = 
|x3 + x2 - x - 1|dx ta được kết quả I = 
, khi đó tổng a + b là:
A. 7 B. 3 C. 5 D. 9
Lời giải:
Do x3 + x2 - x - 1 = (x - 1)(x + 1)2 ≤ 0 , ∀x ∈ [-1;1]
Khi đó I = -
(x3 + x2 - x - 1)dx = - (
+
-
- x)
= 
⇒ a = 4, b = 3 ⇒ a + b = 7
Đáp án: A
Bài 69: Tính tích phân I = 
ta được kết quả I = a + b.ln2 + c.ln3 ( với a, b, c là các số nguyên). Khi đó giá trị của biểu thức T = 2a3 + 3b - 4c là:
A. T = -20 B. T = 3 C. T = 22 D. T = 6
Lời giải:
Cho 
, do x ∈ [-2;0] nên x = -1
Khi đó
I = 
= 
= 1 + 4ln2 - 2ln3 ⇒ a = 1, b = 4, c = -2
⇒ T = 2a3 + 3b - 4c = 22
Đáp án: C
Bài 70: Tính tích phân I =
x|x - a|dx, a > 0 ta được kết quả I = f(a) . Khi đó tổng
f(8) + f(
) có giá trị bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
TH1: Nếu a ≥ 1 khi đó
I = -
x(x - a)dx = (-
+ 
)
= 
-
⇒ f(8) = 
-
= 
TH 2: Nếu 0 < a < 1 khi đó I = -
x(x - a)dx + 
x(x - a)dx
Khi đó f(8) + f(
) =
+ 
=
Đáp án: B
Bài 71: Tính tích phân I =
|2x - 2-x|dx ta được kết quả I = 
( với a,b là các số nguyên dương). Khi đó J = 
|2x - 3|dx có giá trị bằng:
A. J =
B. J = 2.
C. J =
D. J = 3.
Lời giải:
Cho 2x - 2-x = 0 ⇔ 
= 0 ⇔ 22x = 1 ⇔ x = 0
Khi đó I = -
(2x - 2-x)dx +
(2x - 2-x)dx = 
= 
⇒ a = 1, b = 2. Khi đó J =
|2x - 3|dx = J =
|2x - 3|dx =
Đáp án: A
Bài 72: Tính tích phân I = 
|x + 1|dx .
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải:
Nhận xét: |x + 1| = 
Do đó
I =
|x + 1|dx = 
|x + 1|dx + 
|x + 1|dx = -
(x + 1)dx +
(x + 1)dx
= -(
+ x)
+ (
+ x)
= 5
Đáp án: D
Bài 73: Biết I = 
= a + lnb . Chọn đáp án đúng
A. a - b = 0
B. 2a + b = 4
C.
a + b = 1
D. ab = 4
Lời giải:
Áp dụng phương pháp đồng nhất hệ số ta có:
⇒
a + b = 1
Đáp án: C
Bài 74: Tính tích phân I = 
A. I = 
B. I = 
C. I = 
D. I = 
.
Lời giải:
Đặt t =
⇒ t2 = 2x + 1 ⇔ x = 
⇒ tdt = dx
x = 4 ⇒ t = 3, x = 0 ⇒ t = 1
2x2 + 4x + 1 = 2(
)2 = 4.
+ 1 = 
.
Đáp án: A
Bài 75: Tính tích phân I = 
A. I =
-
B. I = 
+
C. I =
-
D. I =
-
Lời giải:
Đặt x = sint khi đó dx = costdt
Đổi cận: với x = 0 ⇒ t = 0; x = 
⇒ t =
Ta có: I = 
=
(1 - cos2t)dt
=
(t -
sin2t)
=
-
.
Đáp án: C
Bài 76: Tính tích phân I = 
.
A. I = 
B. I = -
C. I = 
D. I = -
.
Lời giải:
Đặt u =
⇒ u2 = x2 + 1 ⇒ udu = xdx
x = 0 ⇒ u = 1 ; x = √3 ⇒ u = 2
=
(u2 - 1)du = (
- u)
=
.
Đáp án: C
Bài 77: Tính tích phân: I = 
A. 
+ ln
B.
- ln
C. ln
+ ln
D. ln
+ ln
Lời giải:
Đặt 
ta suy ra 
=
+ ln
Đáp án: A
Bài 78: Tính tích phân: I =
(x - 2)e2x + 1dx
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Đặt 
ta chọn 
I =
(x - 2)e2x + 1
-
e2x + 1dx = e -
e2x + 1
=
Đáp án: B
Bài 79: Tính I = 
A. ln4 - 2 B. ln3 - 1 D. ln4 - ln3 + 1 D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: 
⇔ 1 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx (*) .
oCách 1 :
(*) ⇔ (A + B)x2 + (2A + B + C) + A.
∀x≠{-1;0} ta có hệ sau:
oCách 2:
Cho x = 0 : thay vào (*) ta được: A = 1 .
Cho x = -1 : thay vào (*) ta được: C = -1 .
Với A = 1 và C = -1 , ta cho x = 1 ⇒ B = -1 .
Vậy 
.
Đáp án: D
Bài 80: Tính tích phân J =
(2x2 + x + 1)ln(x + 2)dx
A. 
ln2 - 
B.
ln2 +
C.
ln2 - 
D.
ln2 +
Lời giải:
Đặt 
suy ra
J = (
x3 +
x2 + x)ln(x + 2)
- 
= - 
(4x2 - 5x + 16 - 
)dx
= -
(
x3 - 
x2 + 16x - 32ln(x + 2))
=
ln2 -
Đáp án: C
Bài 81: Cho I = 
x2.ln(x + 1)dx . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. I = - 
+ 
ln2
B. I = -
+ 
ln2
C. I =
+
ln2
D. I = -
-
ln2
Lời giải:
Đặt 
I =
x2.ln(x + 1)dx = 
ln(x + 1) - 
dx =
ln2
-
dx .
Tính
dx =
dx =
(x2 - x + 1 - 
)dx = 
- ln2
I =
x2.ln(x + 1)dx =
ln2 -
(
- ln2) = -
+
ln2 .
Đáp án: A
Bài 82: Biết 
= mπ + n.ln2 (m, n ∈ R) , hãy tính giá trị của biểu thức
A. P = 1 B. P = 0,75 C. P = 0,25 D. P = 0
Lời giải:
Đặt 
, ta có
= (-x.cotx)
+ 
cotxdx = (-x.cotx)
+ ln|sinx|
= 
+ 
.ln2
⇒ m = 
; n =
P = 2m + n = 2.
+
= 1.
Đáp án: B
Bài 83: Tính tích phân I = 
2x.ln(3x - 6)dx .
A. I = 12.ln6 + 5.ln3 - 
B. I = 12.ln6 - 5.ln3 +
C. I = 12.ln6 + 5.ln3 +
D. I = 12.ln6 - 5.ln3 -
.
Lời giải:
I =
2x.ln(3x - 6)dx
Đặt 
C = ((x2 - 4).ln(3x - 6))
-
(x + 2)dx = ((x2 - 4).ln(3x - 6) - 
- 2x)
= 12.ln6 - 5.ln3 -
Đáp án: D
Bài 84: Cho tích phân I = 
. Đặt t = 
ta được I = 
(với m,n ∈ Z ). Tính T = 3m + n
A. T = 7 B. T = 2 C. T = 4 D. T = 5
Lời giải:
Tính I =
Đặt t =
, ta được t2 = 2x + 3 ⇒ 
Vậy: m = 2, n = -1 , T = 3.2 - 1 = 5.
Đáp án: D
Bài 85: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f(1) = 1 và
f(x)dx = 2 . Tính tích phân I =
f'(√x)dx
A. I = -1 B. I = 1 C. I = 2 D. I = -2
Lời giải:
Xét I =
f'(√x)dx Đặt t = √x ⇒ t2 = x ⇒ 2tdt = dx
Đổi cận 
. Khi đó I = 2
tf'(t)dt = 2A .
Tính A =
tf'(t)dt . Đặt 
Khi đó A = tf(t)
-
f(t)dt = f(1) - 2 = 1 - 2 = -1 ⇒ I = 2A = -2.
Đáp án: D
Bài 86: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a , f(2017) = b , (a,b ∈ R). Giá trị
I = 
2015.f'(x).f2014(x)dx bằng:
A. I = b2017 - a2017 B. I = a2016 - b2016 C. I = a2015 - b2015 D. I = b2015 - a2015
Lời giải:
Đặt t = f(x) ⇒ dt = f'(x)dx . Đổi cận: 
Khi đó I = 
2015t2014dt = t2015
= a2015 - b2015
Đáp án: C
Bài 87: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có 
f(x)dx = 3. Tính I = 
f(|2x|)dx
A. I = 0
B. I =
C. I = 3
D. I = 6
Lời giải:
Ta có I =
f(|2x|)dx = 
f(|2x|)dx +
f(|2x|)dx = 2
f(|2x|)dx = 2
f(2x)dx
Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx . Đổi cận: 
Khi đó I =
f(t)dt =
f(x)dx = 3
Đáp án: C
Bài 88: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a] , ta có f(x) > 0 và f(x).f(a - x) = 1 .
Tính I = 
A. 
B. 2a
C. 
D. a.ln(a + 1) .
Lời giải:
Từ giả thiết, suy ra f(a - x) = 
Đặt t = a - x ⇒ dt = -dx . Đổi cận: 
Khi đó 
Suy ra 2I = I + I = 
= 
dx = a ⇒ I =
.
Đáp án: A
Bài 89: Nếu 
+ 6 = 2√X với x > 0 thì hệ số a bằng:
A. 5 B. 9 C. 19 D. 29
Lời giải:
Gọi F(t) là một nguyên hàm của hàm số 
trên đoạn [a;x].
Khi đó ta có
Suy ra F'(t) = 
=
⇒ f(t) = √t ⇒
= 
dt = 2√t
= 2√x - 2√a
Suy ra 2√x - 2√a = 2√x - 6 ⇔ a = 9.
Đáp án: B
Bài 90: Tính tích phân sau : I = 
A.
(
- 1)
B.
C.
+ 3
D. Tất cả sai
Lời giải:
Đặt J = 
Ta xét hệ: 
⇒ 2I =
- 1 ⇒ I =
(
- 1)
Đáp án: A
Bài 91: Tính tích phân sau : J = 
ln(sinx + 
)dx
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Lời giải:
Đặt x = π - t ta có: J = 
ln(sint + 
)dt
J = 
ln(sint +
)dt + 
ln(sint +
)dt (*)
Đặt t = -u ta có:
ln(sint +
)dt =
ln(-sinu + 
)du
= -
ln(sinu +
)du = -
ln(-sint +
)dt
Thay vào (*) suy ra J = 0 .
Đáp án: A
Bài 92: Tính tích phân I = 
sin2x.cosx.dx .
A. 1
B.
C.
D. 2
Lời giải:
Đặt u = sinx Ta có du = cosx.dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = 
⇒ u(
) = 1
Khi đó I =
sin2x.cosx.dx =
u2du =
u3
=
Đáp án: C
Bài 93: Tính tích phân sau : I = 
ln(1 + √3.tanx)dx
A. 
B.
-2
C.
+ 1
D.
-1
Lời giải:
Đặt x = 
- t
Suy ra I = - 
ln(1 + √3.tan(
- t))dt = 
= 
= 
ln4tdt -
ln(1 + √3.tant)dt =
.ln4 - I ⇒ I =
.
Đáp án: A
Bài 94: Giả sử 
= a.ln5 + b.ln3; a,b ∈ Q . Tính P = a.b .
A. P = 8 . B. P = -6 . C. P = -4 . D. P = -5 .
Lời giải:
= 
= (-ln|x + 1| + 2.ln|x + 3|)
= 2.ln5 - 3.ln3
Suy ra: a = 2, b = -3 .
Do đó P = ab = -6 .
Đáp án: B
Bài 95: Có bao nhiêu số a ∈ (0;20π) sao cho
sin5x.sin2xdx = 
A. 9 B. 10 C. 19 . D. 20 .
Lời giải:
Ta có:
=
sin5x.sin2x.dx = 2
sin6x.cosx.dx = 2
sin6x.d(sinx) = 
= 
⇒ sin7a = 1 ⇔ sina = 1 ⇔ a =
+ k2π, k ∈ Z
Vì a ∈ (0;20π) ⇒ 0 <
+ k2π < 20π ⇒ -
< k < 
⇒ k ∈ {0;1;2;3;...;9}.
Vậy có 10 giá trị của k .
Đáp án: B
Bài 96: Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn
= ln2 -
A. m = 3 B. m = 1 C. m = 2 D. m > 3 .
Lời giải:
Ta có:
= 
(x - 1 + 
)dx = (
x2 - x + ln|x + 1| )
= 
- m + ln(m + 1) = ln2 -
thỏa mãn ⇒ m = 1 thõa mãn m ∈ Q
Đáp án: B
Bài 97: Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và
x.sinx.dx = π đồng thời a.cosa = 0 và b.cosb = -π Tính tích phân I =
cosx.dx .
A. I = -π
B. I = π
C. I = 
D. I = 0.
Lời giải:
Đặt 
⇒ π = -x.cosx
+
cosxdx = -(-b.cosb - a.cosa) - I = π - I ⇔ I = 0.
Đáp án: D
Bài 98: Có bao nhiêu giá trị thực của a thuộc đoạn [
;2π] thỏa mãn 
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 .
Lời giải:
Đặt t = 
⇒ t2 = 1 + 3cosx ⇒2tdt = -3sinxdx ⇒ sinx.dx =
-
tdt
Suy ra :
Nghĩa là có 2 giá trị a thỏa mãn bài toán
Đáp án: A
Bài 99: Tính tích phân
I = 
(|x| - |x - 1|)dx ta được kết quả:
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
Lời giải:
I =
(|x| - |x - 1|)dx =
|x|dx -
|x - 1|dx
= -
xdx =
xdx +
(x - 1)dx - 
(x - 1)dx
= 
= 0 .
Đáp án: C
Bài 100: Tính tích phân I =
|3x + x - 4|dx ta được kết quả I = a + 
( với a, b, c là các số nguyên dương). Khi đó giá trị của biểu thức T = a3 + 3b2 + 2c bằng:
A. 55 B. 36 C. 38 D. 73
Lời giải:
Đặt h(x) = 3x - (4 - x) = 3x + x - 4 .
Bảng xét dấu
I = -
(3x + x - 4)dx +
(3x + x - 4)dx
= 
= 1 + 
⇒ a = 1; b = 4; c= 3
⇒ T = a3 + 3b2 + 2c = 55
Đáp án: A
Bài 101: Biết rằng 
= 
e2 + 
e + c (a,b,c ∈ Z). Tính T = a + 
+ 
A. T = 6 B. T = 9 C. T = 10 D. T = 5 .
Lời giải:
Đặt t = 
⇒ t2 = 1 + 3x ⇒ 2tdt = 3dx ⇒
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 2
⇒
= 2
t.etdt = 2(t.et
-
etdt) = 2(t.et
- et
) = 2(2e2 - e - e2 + e) = 2e2
⇒ 
⇒ T = 10.
Đáp án: C
Bài 102: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R , thỏa mãn f(x) > 0, ∀x ∈ R và f'(x) + 2f(x) = 0 . Tính f(-1) , biết rằng f(1) = 1 .
A. e-2 B. e3 C. e4 D. 3 .
Lời giải:
Ta có f'(x) + 2f(x) = 0 ⇔ f'(x) = -2f(x) ⇔ 
= -2 (do f(x) > 0 ).
Lấy tích phân hai vế, ta được
dx = - 2
dx ⇔ ln(f(x))
= - 2x
⇔ ln(f(1)) - ln(f(-1)) = - 4 ⇔ ln1 - ln(f(-1)) = - 4
⇔ ln(f(-1)) = - 4 ⇔ f(-1) = e4
Đáp án: C
Bài 103: Biết rằng ∫e2x.cos3x.dx = e2x(acos3x + bsin3x) + c , trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng a + b có giá trị là
A. - 
B. - 
C.
D.
Lời giải:
Đặt f(x) = e2x(acos3x + bsin3x) + c .
Ta có f'(x) = (2a + 3b)e2xcos3x + (2b - 3a)e2xsin3x
Để f(x) là một nguyên hàm của hàm số e2xcos3x , điều kiện là
f'(x) = e2xcos3x ⇔ 
⇒ a + b =
Đáp án: C
Bài 104: Nếu
f(x)dx = 2 thì I =
(3f(x) - 2)dx bằng bao nhiêu?
A. I = 2 . B. I = 3 . C. I = 4 . D. I = 1.
Lời giải:
Ta có I =
(3f(x) - 2)dx = 3
f(x)dx - 2
dx = 3.2 - 2.x
= 6 - 2 = 4.
Đáp án: C
Bài 105: Tính tích phân sau J = 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Lời giải:
Đặt x = 6 - t
Suy ra 
⇒ J = 1
Đáp án: B
Bài 106: Tính tích phân sau K = 
A. 2ln3 - 1 B. 3ln2 - 1 C. 2ln2 - 1 D. 2ln2
Lời giải:
Ta có K =
(1 + cosx).ln(1 + sinx).dx -
ln(1 + cosx)dx
Đặt x =
- t ⇒
(1 + cosx).ln(1 + sinx).dx =
(1 + sint).ln(1 + cost)dt
=
(1 + sinx).ln(1 + cosx)dx ⇒ K =
sinx.ln(1 + cosx)dx
Đặt 
ta chọn 
K = -cosx.ln(1 + cosx)
+ 
= 2ln2 - 1
Đáp án: C
Bài 107: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3 + 11x - 6 , y = 6x2, x = 0, x = 2 . (Đơn vị diện tích)
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Đặt h(x) = (x3 + 11x - 6 ) - 6x2 = x3 - 6x2 + 11x - 6
h(x) = 0 ⇔ x = 1 ν
x = 2 ν x = 3 (loại).
Bảng xét dấu
S = -
(x3 - 6x2 + 11x - 6 )dx +
(x3 - 6x2 + 11x - 6 )dx
= - (
- 2x3 + 
- 6x)
+ (
- 2x3 +
- 6x)
=
Đáp án: B
Bài 108: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = cosx, y = sinx , đường thẳng
x =
; x = 
.
A. √3 B. 2√2 C. √2 D. 1
Lời giải:
Đặt f1(x) = cosx, f2(x) =sinx ;
Ta có f1(x) - f2(x) = 0 ⇔ cosx - sinx = 0 ⇔ x = 
Diện tích hình phẳng đã cho là:
S = 
|cosx - sinx|dx = 
|sinx - cosx|dx + 
|cosx - sinx|dx
= |√2 + 1| + |-1 + √2| = 2√2
Đáp án: B
Bài 109: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số (H) :
A. 1
B.
C. 2
D. 3
Lời giải:
S(H)=
|(x3 - 3x2 + 3x - 1) - (1 - x)|dx =
|x3 - 3x2 + 4x - 2|dx
=
(- x3 + 3x2 - 4x + 2)dx +
(x3 - 3x2 + 4x - 2)dx
= (
- x3 - 2x2 + 2x)
+ (
- x3 + 2x2 - 2x)
= (- 
+ 1 - 2 + 2) + ((4 - 8 + 8 - 4)- (
- 1 + 2 - 2)) = 
+
=
Đáp án: B
Bài 110: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số
A. 1 B. ln2 C. 2 D. 1-ln2
Lời giải:
(Đồ thị giao với trục hoành tại điểm ( -
; 0) trục tung : x = 0.
Diện tích hình cần tìm là S = 
= |(2x - ln|x + 1|)|
= ( - 1 - ln
) = 1 + ln1 - ln2 = 1 - ln2 (ĐVDT)
Đáp án: D
Bài 111: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : y = ex, y = 2 và đường thẳng x=1
A. e - 2 B. 2ln2 - 4 C. e + 2ln2 D. e + 2ln2 - 4
Lời giải:
Giải PT : ex = 2 ⇔ x = ln2 ; Diện tích hình phẳng cần tìm là :
S = 
|ex - 2|dx =
(ex - 2)dx = (ex - 2x)
= (e - 2) - (eln2 - 2ln2)
= (e - 2) - (2 - 2ln2) = e + 2ln2 - 4 (ĐVDT)
Đáp án: D
Bài 112: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox; đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng x = π ,
x =
A. 
B. 
C. 
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: V = π
sin2xdx =
(1 - cos2x)dx =
(x -
sin2x)
=
(π -
) =
(ĐVTT)
Đáp án: A
Bài 113: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox Đồ thị hàm số
y = cosx, y = 0, x = 0 ,
x =
A.
(
+ 2)
B.
(
+
)
C.
(
+ 1)
D.
(
+ 2)
Lời giải:
Ta có: V = π
cos2xdx =
(1 + cos2x)dx =
(x +
sinx)
=
(
+
) (ĐVTT)
Đáp án: B
Bài 114: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox Đồ thị hàm số
y = x.ex , y = 0, x = 0, x = 1
A.
(e2 - 1)
B.
(e2 + 1)
C.
(e2 - 1)
D.
(e2 + 1)
Lời giải:
Ta có : V = π
x2e2xdx Đặt : 
V =
x2e2x
- π
xexdx =
.e2 - π
xexdx
Tính I =
xexdx , Đặt 
Thay I vào V ta có : 
(ĐVTT)
Đáp án: A
Bài 115: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox đồ thị hàm số :
y =
x3 - x2 và các đường y = 0, x = 0, x = 3.
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Đáp án: B
Bài 116: Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = |x2 - 1|, y = |x| + 5 . Diện tích của (H) bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Xét pt |x2 - 1| = |x| + 5 có nghiệm x = - 3, x = 3
Suy ra S = 
|(|x2 - 1| - (|x| + 5))|dx = 2
||x2 - 1| - (x + 5)|dx
Bảng xét dấu x2 - 1 trên đoạn [0;3]
Vậy S = 2|
( - x2 - x - 4)dx + 
(x2 - x - 6)dx| =
Đáp án: B
Bài 117: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 + 3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng
A. 
B. 
C. 2
D. 
Lời giải:
PTTT của (P) tại x = 2 là y = 4x + 3
Xét pt (x2 + 3) - (4x + 3) = 0 ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔
Suy ra S =
|x2 - 4x + 4|dx = |
(x2 - 4x + 4)dx| = |(
- 2x2 + 4x)
| =
Đáp án: A
Bài 118: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2 - 2y + x = 0, x + y = 0 là
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Biến đổi về hàm số theo biến số y là x = - y2 + 2y, x = - y
Xét pt tung độ giao điểm (- y2 + 2y) - (-y) = 0 có nghiệm y =0, y = 3
Vậy S =
|-y2 + 3y|dy =
(-y2 + 3y)dy =
Đáp án: B
Bài 119: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x2,
y = 
x2 ; y = 
bằng
A. 27ln2 B. 27ln3 C. 28ln3 D. 29ln3
Lời giải:
Xét các pthđgđ x2 -
x2= 0 ⇒ x = 0; x2 -
= 0 ⇒ x = 3;
x2 -
= 0 ⇒ x = 9
Suy ra
S =
(x2 -
x2)dx + 
(
-
x2)dx = 27ln3
Đáp án: B
Bài 120: Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Ta có y2 = y + 2 ⇔ 
, Nên S =
(y + 2 - y2)dy =
Đáp án: D
Bài 121: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = √3 , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x
(0 ≤ x ≤ √3) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x
và 
.
A. 1
B. 2
C. 
D. 3
Lời giải:
Ta có diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) là:
S(x) = x.
nên thể tích cần tính là:
V = 
x.
dx = 
d(1 + x2) = 
(1 + x2)
=
(đvtt) .
Đáp án: C
Bài 122: Cho parabol (P): y = x2 + m . Gọi (d) là tiếp tuyến với (P) qua O có hệ số góc
k > 0 . Xác định m để khi cho quay quanh Oy hình phẳng giới hạn bởi (P),(d) và trục Oy có thể tích bằng 6π .
A. m = 4 B. m = 5 C. m = 6 D. m = 7
Lời giải:
Tiếp tuyến (d) qua O có dạng y = kx, k > 0 . (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ
có nghiệm x0 tức phương trình x0 = m có nghiệm x0 > 0 hay x0 = √m và m ≥ 0 suy ra k = 2√m .
Phương trình (d) : y = 2√m
Mà V = 6π ⇒ m = 
6 mà m ≥ 0 suy ra m = 6 .
Vậy, m = 6 thỏa mãn bài toán.
Đáp án: C
Bài 123: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y =x và đồ thị hàm số
y = 
trong miền x ≥ 0 , y ≤ 1 là 
. Khi đó b - a bằng
A. 4 B. 2 C. 3 D. 1
Lời giải:
Ta có
x - 1 = 0 ⇒ x = 1; x -
= 0 ⇒ x = 0; 1 -
= 0 ⇒ x = 2
Nên S = 
(x -
)dx + 
(1 -
)dx = 
Vậy a=5; b=6 và b-a=1
Đáp án: D
Bài 124: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
y = 
và y = 
x - x2 là
. Khi đó a + 2b bằng
A. 16 B. 15 C. 17 D. 18
Lời giải:
Ta có
x - x2 = - x ⇒ x = 0
x - x2 = x - 2 ⇒ x = 3
Nên S =
(
x - x2 + x)dx + 
(
x - x2 - x + 2)dx = 
Suy ra a=13 ; b=2 và a+2b=17.
Đáp án: C
Bài 125: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(2) = 16,
f(x)dx = 4 . Tính I =
x.f'(2x)dx
A. 13 B. 12 C. 20 D. 7.
Lời giải:
Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx, Đổi cận x = 0 ⇔ t = 0, x = 1 ⇔ t = 2
I = 
tf'(t)dt
Đặt 
I =
(tf(t)
-
f(t)dt ) =
(2f(2) - 0f(0) - 4) = 7
Đáp án: D
Bài 126: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân
f(tanx)dx = 4
và 
= 2 , tính tích phân I =
f(x)dx .
A. 6 B. 2 C. 3 D. 1.
Lời giải:
Đặt t = tanx ⇒ dt = (1 + tanx)dx ⇒ 
= dx
Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0 và x = 
⇒ t = 1
Đó đó:
f(tanx)dx = 4 ⇒ 
= 4 ⇒ 
= 4
Nên
+
= 4 + 2 ⇔
f(x)dx = 6
Đáp án: A
Bài 127: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x , y = 2x ,
x = 
.
A. 
- 4
B. π2 - π
C.
-
D.
+
.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
x.sin2x = 2x ⇔x(sin2x - 2) = 0 ⇔ 
S = 
|xsin2x - 2x|dx = |
(xsin2x - 2x)dx| = |(
sin2x -
xcos2x - x2)
| =
-
Đáp án: C
Bài 128: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bời hai đồ thị y = x2 - 4x + 6 , y = -x2 - 2x + 6 .
A. 3π B. π -1 C. π D. 2π .
Lời giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x2 - 4x + 6 = -x2 - 2x + 6 ⇔ 2x2 - 2x = 0 ⇔
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bời hai đồ thị y = x2 - 4x + 6 , y = -x2 - 2x + 6 là
V = π
|(x2 - 4x + 6)2 - (-x2 - 2x + 6)2| = π|
(36x2 - 12x3 - 24x)dx| = 3π
Đáp án: A
Bài 129: Biết 
(a,b ∈ Z) là. Tính P = a + b
A. P = 2 B. P = - 4 C. P = 4 D. P = - 2
Lời giải:
Ta có 
Đặt t = x.cosx ⇒ dt = cosx - x.sinx
Đổi cận suy ra I = 
⇒ a = 3; b = 1
Đáp án: C
Bài 130: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = √3x2 và nửa đường tròn có phương trình
y = 
với - 2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của (P) và ( C) là nghiệm của √3x2 =
⇔ 
Khi đó, diện tích cần tính là H = 2.(
dx -
√3x2dx) =
Đáp án: D
Bài 131: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên đoạn [1;4],f(1) = 12 và
f'(x)dx = 17. Giá trị của f(4) bằng
A. 29 B. 5 C. 19 D. 9
Lời giải:
Ta có
f'(x)dx = f(4) - f(1) ⇒ f(4) = 17 + f(1) = 29
Đáp án: A
Bài 132: Cho 
= a√b - 
√a + 
(a,b ∈ N*). Tính a + 2b
A. a + 2b = 7 B. a + 2b = 8 C. a + 2b = -1 D. a + 2b = 5
Lời giải:
Theo giả thiết:
= 2√3 -
√2 +
= a√b -
√a +
⇒ a = 2; b =3 ⇒ a + 2b = 8
Đáp án: B
Bài 133: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ x có số lượng là N(x). Biết rằng N'(x) =
và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau khi làm tròn) là bao nhiêu con?
A. 10130. B. 5130. C. 5154. D. 10132.
Lời giải:
Ta có 
= 2000ln|1 + x|
2000ln13 = N(12) - N(0)
⇒ N(12) = 2000ln13 + 5000 ≈ 10130
Đáp án: A
Bài 134: Cho
f(x2 + 1)xdx = 2. Khi đó I = 
f(x)dx bằng
A. 2. B. 1. C. -1. D. 4.
Lời giải:
Đặt t = x2 + 1 ⇒ dt = 2xdx, 
⇒ f(x2 + 1)xdx =
f(t)dt =
f(x)dx = 
⇒ I = 4
Đáp án: D
Bài 135: Biết 
(2x - 1)dx = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. b - a = 1 B. a2 - b2 = a - b + 1 C. b2 - a2 = b - a + 1 D. a - b = 1
Lời giải:
Ta có
(2x - 1)dx =(x2 - x)
= (b2 - a2) - (b - a) = 1 ⇔ b2 - a2 = b - a + 1
Đáp án: C
Bài 136: Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn 2f(x) + 3f(1 - x) =
Tính I =
f(x)dx
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Ta có 2I =
2f(x)dx =
(
- 3f(1 - x))dx =
dx - 3
f(1 - x)dx
Mà
dx =
(casio) và
f(x)dx =
f(1 - x)dx ⇒ 2I =
- 3I ⇔ I =
Đáp án: C
Bài 137: Cho hàm số y = f(x) có 1 ≤ f'(x) ≤ 4 với mọi x ∈ [2;5] . Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. 3 ≤ f(5) - f(2) ≤ 12 B. -12 ≤ f(5) - f(2) ≤ 3
C. 1 ≤ f(5) - f(2) ≤ 4 D. -4 ≤ f(5) - f(2) ≤ -1
Lời giải:
Đầu tiên ta phải nhận dạng được f(5) - f(2) = 
f'(x)dx .
Do 1 ≤ f'(x) ≤ 4 , ∀x ∈ [2;5] → 
Vậy 3 ≤ f(5) - f(2) ≤ 12.
Đáp án: A
Bài 138: Cho m thỏa mãn
(m2 + (4 - 4m)x + 4x3)dx = 
2xdx . Nghiệm của phương trình log3(x + m) = 1 là:
A. x = 0 B. x = 1 C. x = 2 D. x = 3.
Lời giải:
Ta có:
(m2 + (4 - 4m)x + 4x3)dx = (m2x + (2 - 2m)x2 + x4)
= m2 - 6m + 21
và
2xdx = x2
= 12
Suy ra: m2 - 6m + 21 = 12 ⇔ m2 - 6m + 9 = 0 ⇔ m = 3.
Khi đó: log3(x + 3) = 1 ⇔ x + 3 = 3 ⇔ x = 0
Đáp án: A
Bài 139: Tính tích phân I = 
được kết quả I = a.ln3 + b.ln5 với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của a2 + a.b + 3b2 là
A. 4 B. -1 C. 0 D. 5
Lời giải:
Đặt t = 
⇒ t2 = 3x + 1 ⇒ 
. Đổi cận: 
Khi đó I = 
= 2.ln3 - ln5 = a.ln3 + b.ln5
Suy ra a = 2; b = -1 ⇒ a2 + a.b + 3b2 = 5 .
Đáp án: D
Bài 140: Cho
f(x)dx = - 3 . Tính
f(
)dx .
A. - 6
B. - 
C. - 1
D. - 5.
Lời giải:
Cách 1: Đặt t =
⇒ 2t = x ⇔ dx = 2dt
Khi đó
f(x)dx = 2
f(t)dt = 2
f(x)dx = 2.(-3) = -6.
Cách 2: Chọn f(x) = - 3 thỏa mãn 2
f(x)dx = 2
-3.dx = -3x
= -3.
Suy ra
f(
)dx =
-3x.dx = - 6.
Đáp án: A
Bài 141: Cho hàm số f(x) thỏa mãn
(x + 1)f'(x)dx = 10 và 2.f(1) - f(0) = 2 .
Tính I =
f(x)dx .
A. I = -12 B. I = 8 C. I = 12 D. I = -8 .
Lời giải:
Đặt 
Suy ra 10 =
(x + 1)f'(x)dx = (x + 1)f(x)
-
f(x)dx
⇔ 10 = 2f(1) - f(0) - I ⇔ 10 = 2 - I ⇔ I = -8 .
Đáp án: D
Bài 142: Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0;2] . Biết F[0] = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và
F(x)g(x)dx = 3 .
Tính tích phân hàm: I =
G(x)f(x)dx.
A. I = 3 B. I = 0 C. I = - 2 D. I = 4 .
Lời giải:
Đặt 
Suy ra: I = G(x).F(x)
-
F(x).g(x).dx = G(2).F(2) - G(0).F(0) - 3 = 1 - 0 - 3 = - 2
Đáp án: C
Bài 143: Tính S hình phẳng được giới hạn bởi các đường
y = 
; y = 0; x = 1
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Ta có:
= 0 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 0 . Rõ ràng
≥ 0 với mọi x ∈ [0;1]
Do đó diện tích của hình phẳng là 
Đặt t = 
, ta có khi x = 0 thì t = √2 , khi x = 1 thì t = 2 và 3x = t2 - 1
Suy ra 3xln3dx = 2tdt , hay 3xdx = 
. Khi đó ta có
Đáp án: A
Bài 144: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2, y = 4x - 4
và y = -4x - 4
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Ta thấy đường thẳng y = -4x - 4 và đường thẳng y = 4x - 4 lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 tại các tiếp điểm có hoành độ x = -2 và x = 2
Do tính đối xứng qua Oy của parabol y = x2 nên diện tích hình phẳng cần tìm bằng 2 lần diện tích tam giác cạnh OMT2 và bằng:
S = 2
(x2 - (4x - 4))dx = 2
(x - 2)2dx = 
Đáp án: B
Bài 145: Tính diện tích giới hạn bởi các đừơng cong y = (x - 1)lnx và y = x - 1 .
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
+) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1 x = 1 hoặc x = e.
+ ) Diện tích cần tìm là:
S = 
|(x - 1)(lnx - 1)|dx = |
(x - 1)(lnx - 1)dx| = |
(lnx - 1)d(
- x)|
= |(
- x)(lnx - 1)
-
(
- 1)dx| = |-
- (
x2 - x)
| =
(đvdt).
Đáp án: A
Bài 146: Tính diện tích giới hạn bởi các đừơng cong y = (e + 1)x; y = (ex + 1)x
A. 
B. 
C. 
D. 
- 1
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình
(e + 1)x = (1 + ex)x
Diện tích cần tính là S =
|x(ex - e)|dx
S = |
x.exdx -
e.x.dx| = |
xd(ex) - e
xdx|
= |x.ex
-
exdx - e.
| =
- 1
Đáp án: D
Bài 147: Tính diện tích giới hạn bởi các đừơng cong y = (x - 1).ln(x + 1) và trục hoành
A. 3 - 2ln2
B. - 
+ 2ln2
C. - 
+ 2ln2
D. 4 + ln2
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:
(x - 1)ln(x + 1) = 0
→Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x - 1).ln(x + 1) và trục hoành là
S =
|(x - 1)ln(x + 1)|dx =
(1 - x)ln(x + 1)dx
Đặt 
→ 
= 
ln2 +
(
x - 
+ 
)dx
=
ln2 + (
x2 -
x +
ln(x + 1))
=
ln2 -
+
ln2 = -
+ 2ln2
Đáp án: C
Bài 148: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi
y = 
Và y = 0; x = 0; x = 1 xung quanh Ox
A. 
(6ln
- 1)
B.
(6ln
- 1)
C. 
(6ln
- 1)
D. 
(6ln
+ 1)
Lời giải:
Thể tích khối tròn xoay là V = 
Đặt t = 
, ta có khi x = 0 thì t = 2, khi x = 1 thì t = 1 và x =
nên dx = -
dt .
Khi đó ta có:
Đáp án: C
Bài 149: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi
y = 
trục hoành và x=1 xung quanh trục hoành
A. π(
- 
+
)
B. (
-
+
)
C. 
(
- 
+
)
D.
(
-
+
)
Lời giải:
Ta có
≥ 0, ∀x ≥ 0 và
= 0 ⇔ x = 0 .
Do đó thể tích khối tròn xoay cần tính là:
V = π
x(3x + 1)dx = π
x.3xdx + π
xdx = π
x.3xdx +
. (1)
Tính
x.3xdx . Đặt u = x; dv = 3xdx . suy ra du = dx; v =
Theo công thức tích phân từng phần ta có
x.3xdx = 
=
-
.
Thay vào (1) ta được V = π(
-
+
) .
Đáp án: A
Bài 150: Gọi D là miền giới hạn bởi (P): y = 2x - x2 và trục hoành. Tính thể tích vật thể V do ta quay (D) xung quanh trục Oy
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
0 ≤ x ≤ 2 thì y = 2x - x2 ⇔ x2 - 2x + y = 0
Phương trình bậc hai theo y. Ta có Δ = 1 - y, y ≤ 1
Vy = π
((1 + 
)2 - (1 -
)2)dy = 4π
dy
Đặt u =
⇒ u2 = 1 - y ⇒ 2udu = - dy
Đổi cận 
Vy = 4π
dy = 4π
u.(-2u.du) = 8π
u2du = 8π
=
đvtt.
Đáp án: B
