Bất phương trình f(x) < ex + m đúng với mọi x thuộc (-1; 1) khi và chỉ khi: A. m
Câu hỏi:
Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f’(x) có bảng biến thiên như sau:
Bất phương trình f(x) < ex + m đúng với mọi x ∈ (–1; 1) khi và chỉ khi:
A. m ≥ f(1) – e
B. \(m > f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}\)
C. \(m \ge f\left( { - 1} \right) - \frac{1}{e}\)
D. m > f(1) – e .
Trả lời:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(f(x) < {e^x} + m \Leftrightarrow f(x) - {e^x} < m\)
Đặt \(g(x) = f(x) - {e^x}\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}f(x) < {e^x} + m;\forall x \in ( - 1;1)\\ \Rightarrow g(x) = f(x) - {e^x} < m;\forall x \in ( - 1;1)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g(x)\end{array}\)
Ta có g’(x) = f’(x) – ex
Trên (–1; 1) ta có: \(f'(x) < 0;{e^x} > 0;\forall x \in R \Rightarrow g'(x) < 0;\forall x \in ( - 1;1)\)
Suy ra g(x) nghịch biến trên (–1; 1)
Do đó: \(\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g(x) = g( - 1) = f( - 1) - {e^{ - 1}} = f( - 1) - \frac{1}{e}\)
Suy ra \(m \ge f( - 1) - \frac{1}{e}\)
Vậy đáp án cần chọn là: C.
