Cách tìm cực trị của hàm trùng phương cực hay, có lời giải - Toán lớp 12

Cách tìm cực trị của hàm trùng phương cực hay, có lời giải

Với Cách tìm cực trị của hàm trùng phương cực hay, có lời giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm cực trị của hàm trùng phương từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

a. Quy tắc 1

- Bước 1: Tìm tập xác định.

- Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên.

- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

b. Quy tắc 2

- Bước 1: Tìm tập xác định.

- Bước 2: Tính f'(x)và f''(x).

- Bước 3: Tìm các nghiệm x_i (i = 1,2,3...) của phương trình f'(x) = 0.

- Bước 4: Với mỗi x_i tính f''(x_i):

+) Nếu f''(x_i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x_i.

+) Nếu f''(x_i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x_i.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x⁴ - 2x² - 2 là:

A. (1;-3).

B. (-1;-3).

C. (0;-2).

D. (-2;0).

Lời giải

Chọn C

Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị là (0;-2).

Ví dụ 2: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào?

A. x = 1

B. x = -1

C. x = 2

D. x = 0

Lời giải

Chọn D

TXĐ: D = R

Ta có y' = x³ + 4x ⇒ y' = 0 ⇔ x³ + 4x = 0.

⇔ x(x² + 4) = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm

Ví dụ 3: Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = -x⁴ + 2x² + 2.

A. (-1;1).

B. (2;0).

C. (1;1).

D. (0;2).

Lời giải

Chọn D

TXĐ: D = R

Ta có y' = -4x³ + 4x.

Ta có y″=-12x² + 4

y″(0) = 4 > 0 ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu nên điểm (0;2) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

y″(1) = -8 < 0 ⇒ x = 1 là điểm cực đại.

y″(-1) = -8 < 0 ⇒ x = -1 là điểm cực đại.

C. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Hàm số y = x⁴ - 2x² + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Lời giải:

Chọn C

Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.

Bài 2: Hàm số y = 2x⁴ + 4x² - 3 có giá trị cực tiểu bằng bao nhiêu?

A. 0.

B. 1.

C. -3.

D. 3.

Lời giải:

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có: y' = 8x³ + 8x = 8x(x² + 1).

y' = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên

Vậy hàm số có giá trị cực tiểu bẳng -3.

Bài 3: Số cực trị của hàm số y = x⁴ + 2x² - 3 là

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Lời giải:

Chọn D

Tập xác định D = R.

y' = 4x³ + 4x = 4x(x² + 1).

y' = 0 ⇔ x = 0.

y″ = 12x² + 4.

y″(0) = 4 > 0 nên x = 0 là cực tiểu của hàm số

Vậy hàm số có một cực trị duy nhất

Bài 4: Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c, (a ≠ 0) có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. M(0;-3) là điểm cực tiểu của hàm số.

B. Đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

C. f(2) được gọi là giá trị cực đại của hàm số.

D. x₀ = 2 được gọi là điểm cực đại của hàm số.

Lời giải:

Chọn A

A sai vì phát biểu đúng là: “M(0;-3) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số”.

Bài 5: Tìm giá trị cực đại của hàm số y = x⁴ - 8x² - 4.

A. y = 4

B. y = -4

C. y = 0

D. y = 1

Lời giải:

Chọn B

Vậy hàm số có giá trị cực đại là y = -4

Bài 6: Số điểm cực trị của hàm số f(x) = -x⁴ + 2x² - 3 là:

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Lời giải:

Chọn D

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Bài 7: Hàm số y = -x⁴ + 4 có điểm cực đại là:

Lời giải:

Chọn B

Tập xác định D = R.

y' = -4x³; y' = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số có điểm cực đại là x = 0

Bài 8: Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c, (a ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ bên

Giá trị cực đại của hàm số bằng:

A. 4.

B. 3.

C. -1

D. 1.

Lời giải:

Chọn D

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 1

Bài 9: Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x⁴ - 2x² + 2. Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

A. x² + y² - y = 0.

B. x² + y² - 2y = 0.

C. x² + y² - 2x = 0.

D. x² + y² - x = 0.

Lời giải:

Chọn B

Bài 10: Cho hàm số (m là tham số). Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là nhỏ nhất.

Lời giải:

Chọn C

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là .

Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là .

Dấu "=" xảy ra khi m = 1/2