X

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải


Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Với Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về tính thể tích khối chóp từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

I. LÝ THUYẾT

1. Hình chóp

Là hình có 1 đỉnh và 1 đáy là đa giác lồi. Các mặt còn lại gọi là mặt bên và luôn là tam giác.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

+) Mặt đáy: ABCD.

+) Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SDA).

+) Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD.

+) Đỉnh hình chóp: S.

2. Thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó.

Công thức:

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

B: Diện tích mặt đáy.

h: Chiều cao của khối chóp.

II. PHƯƠNG PHÁP

Dạng 1: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Từ giả thiết của đề bài, ta xác định được đường cao h là cạnh bên vuông góc với đáy. Do vậy ở dạng toán này ta chỉ cần nắm vững các công thức tính độ dài và góc trong hình phẳng để áp dụng tìm cạnh, đoạn của đáy và đường cao. Từ đó ta tính được diện tích đáy và đường cao.

TH1: Khối chóp có đáy là tam giác ABC có SA vuông góc với đáy.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

TH2: Khối chóp có đáy là hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình bình hành, … và SA vuông góc với đáy.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Ví dụ 1: Cho khối chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 4, AB = 6, BC = 10 và CA = 8. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

A. V = 40.

B. V = 192.

C. V = 32.

D. V = 24.

Hướng dẫn giải

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Ta có AB2 + AC2 = 62 + 82 = 102 = BC2 suy ra tam giác ABC vuông tại A (theo định lý Py – ta – go đảo), do đó diện tích tam giác ABC là: .Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Vì SA vuông góc với đáy nên SA là đường cao của hình chóp.

Do đó h = SA = 4.

Vậy Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải (đvtt).

Chọn C.

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Xét hình chóp S. ABCD có mặt bên (SAD) ⊥ (ABCD)

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Đường cao của hình chóp là đường cao của tam giác SAD. Chứng minh:

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Đặc biệt nếu tam giác SAD cân hoặc đều thì đường cao cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S. ABC

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Hướng dẫn giải

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Chọn B.

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều nên .

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Suy ra SH là đường cao của hình chóp.

Vì SH là đường cao trong tam giác đều SAB nên

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Vậy Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải (đvtt).

Dạng 3: Thể tích khối chóp đều.

Xét hình chóp tứ giác đều S. ABCD

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

+) Các mặt bên là các tam giác cân tại S.

+) Đáy ABCD là hình vuông.

+) Đường cao là SO với O là tâm của đáy.

+) Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng góc SMO (với M là trung điểm của BC).

+) Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau: Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Chú ý:

a) Với hình chóp tam giác đều ta làm tương tự.

b) Với tứ diện đều:

Xét tứ diện đều ABCD:

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

DH là đường cao của tứ diện đều (Với H là trọng tâm tam giác ABC).

Suy ra thể tích của khối tứ diện đều ABCD là Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Hướng dẫn giải

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra SO ⊥ (ABCD) .

Hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông nên ta có : SABCD = a2 và BD = a√2. Suy ra .Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Ta có OB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa cạnh bên SB với đáy là góc SBO bằng 600.

Suy ra chiều cao SO : Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Vậy Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho khối chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Hướng dẫn giải

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC suy ra SO ⊥ (ABCD)

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC, khi đó AI là đường cao của tam giác đáy.

Ta có: BC = a nên Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABI ta có Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải .

Ta có: Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải (Do O là trọng tâm tam giác ABC).

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O ta có Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Chọn B.

Dạng 4: Cạnh bên hoặc mặt bên tạo với đáy một góc và một số bài toán khác

Các giả thiết của bài toán này khá đa dạng, tuy nhiên cách giải của các bài toán này nằm ở 2 bước sau:

+) Bước 1: Xác định được góc trên hình vẽ.

+) Bước 2: Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính các yếu tố cạnh liên quan tới chiều cao và diện tích đáy.

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác S. ABC có SA = 2a. SA tạo với mặt phẳng (ABC) góc 300. Tam giác ABC vuông cân tại B, G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB), (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Hướng dẫn giải

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Hình chiếu của SA lên (ABC) là AG.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Gọi M là trung điểm của BC.

Suy ra Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Xét tam giác ABM vuông tại B, có: AB2 + BM2 = AM2 (định lý Py – ta – go)

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Chọn B.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 2: Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a√2. Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 4: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = 2a. Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S. ABC.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a√3, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S. ABCD là

A. 13a3 B. 14a3

C. 15a3 D. 17a3

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 450. Thể tích khối chóp S. ABCD là

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao của hình chóp là a√2. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABC.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 8: Tính thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 9: Cho (H) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích của (H) bằng

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 10: Cho hình chóp S. ABC có diện tích đáy là 5, chiều cao có số đo gấp 3 lần diện tích đáy. Thể tích của khối chóp đó là

Tất tần tật về tính thể tích khối chóp và cách giải

Câu 11: Cho khối chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng 2a, chiều dài 3a. Chiều cao của khối chóp là 4a. Thể tích khối chóp S. ABCD tính theo a là

A. V = 8a3 B. V = 24a3

C. V = 9a3 D. V = 40a3

BẢNG ĐÁP ÁN

Câu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Đáp án

C

B

D

D

A

B

B

A

D

D

A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 chọn lọc, có lời giải hay khác: