Cho a, b, c thuộc ℕ*: a^2 + b^2 = c^2. Chứng minh abc chia hết cho 60.

Câu hỏi:

Cho a, b, c thuộc ℕ^*: a² + b² = c². Chứng minh abc chia hết cho 60.

Trả lời:

Giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3

⇒ a² ≡ 1 (mod3) và b² ≡ 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1)

⇒ a² + b² ≡ 2 (mod3) nhưng c²≡ 1 (mod3) ⇒ mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (1)

+ Tương tự, có ít nhất 1 số chia hết cho 4, vì giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 4

⇒ a² ≡ 1 (mod4) và b²≡ 1 (mod4)

⇒ a²+ b² ≡ 2 (mod 4) nhưng c² ≡ 1 (mod 4) ⇒ mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)

+ Tương tự a² = 1 (mod 5) hoặc a² = -1 (mod 5) hoặc a² = 4 (mod 5) và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3

⇒ phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ abc chia hết cho BCNN(3, 4, 5) = 60 hay abc chia hết 60.

Câu 1:

Cho x + y = 15. Tìm min, max $B = \sqrt{x - 4} + \sqrt{y - 3}$

Câu 2:

Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn: (x - y)(y - z)(z – x) = x + y + z. Chứng minh x + y + z chia hết cho 27.

Câu 3:

Cho x, y, z thỏa mãn đk x + y + z = a. Tìm GTNN của $P = (1 + \frac{a}{x}) (1 + \frac{a}{y}) (1 + \frac{a}{z})$

Câu 4:

Cho x + 3y – 4 = 0, tính x³ - x² + 9x²y - 9y² + 27xy² + 27y³ - 6xy

Câu 5:

Tam giác ABC có a = 7, b = 5, góc $\hat{C}$ = 60°. Độ dài cạnh c bằng bao nhiêu?

Câu 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Biết 3AB = 2AC. Tính $s i n \hat{A C B}, t a n \hat{A C B}$ .

b) Vẽ đường phân giác CK của tam giác AHC. Biết AH = 2,4 cm; BH = 1,8 cm. Tính CH, AC, CK, $c o s \hat{H C K}$ .

Câu 7:

Cho hình vẽ sau biết $\hat{x A B} = 60 °; \hat{A B y} = 120 °; \hat{B C z} = 150 °$ . Chứng minh

a) Ax // By.

b) Biết $\hat{A B C} = 90 °$ , chứng minh Cz // By.

Các dạng bài tập Toán lớp 12