Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết x^2 +2x -3 là một nguyên hàm

Câu hỏi:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết $x^2+2x-3$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}$. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f^{\text{'}}\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}$ là

A. $2+\left(x+1\right)\ln 5+C$

B. $-\ln 5+C$

C. $2x-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln 5+C$

D. $2x+\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln 5+C$

Trả lời:

Đáp án C

 $x^2+2x-3$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(x^2+2x-3\right)}^{\text{'}}=f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}\\ \iff 2x+2=f\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}\iff f\left(x\right)=\frac{2x+2}{5^{\frac{x}{2}}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{2x+2}{5^{\frac{x}{2}}}\right)}^{\text{'}}=\frac{{2.5}^{\frac{x}{2}}-\left(2x+2\right)\left(\frac{1}{2}{.5}^{\frac{x}{2}}.\ln 5\right)}{{\left(5^{\frac{x}{2}}\right)}^2}=\frac{2-\left(x+1\right)\ln 5}{5^{\frac{x}{2}}}\\ \Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}=2-\left(x+1\right)\ln 5\end{array}$

$\Rightarrow \int f^{\text{'}}\left(x\right){.5}^{\frac{x}{2}}dx=\int \left[2-\left(x+1\right)\ln 5\right]dx=2x-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln 5+C.$