Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho ; N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh tam giác BMN vuông cân.

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD, M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho $A M = \frac{A C}{4}$ ; N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh tam giác BMN vuông cân.

Trả lời:

Đặt $\vec{A B} = \vec{x}; \vec{A D} = \vec{y} \Rightarrow \vec{A C} = \vec{x} + \vec{y} \Rightarrow \vec{A M} = \frac{1}{4} (\vec{x} + \vec{y})$

Do AB và AD vuông góc với nhau và AB = AD nên $\vec{x} . \vec{y} = \vec{0}; {\vec{x}}^{2} = {\vec{y}}^{2}$

Khi đó: $\vec{M B} = \vec{A B} - \vec{A M} = \frac{1}{4} (3 \vec{x} - \vec{y})$

$\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{1}{4} (\vec{x} + 3 \vec{y})$

Ta có: $\vec{M B} . \vec{M N} = \frac{1}{4} (\vec{x} + 3 \vec{y}) . \frac{1}{4} (3 \vec{x} - \vec{y}) = \frac{1}{16} (3 {\vec{x}}^{2} - 3 {\vec{y}}^{2} + 8 \vec{x} . \vec{y}) = 0$

Mặt khác: ${\vec{M B}}^{2} = \frac{1}{16} {(3 \vec{x} - \vec{y})}^{2} = \frac{5}{8} {\vec{y}}^{2}$

${\vec{M N}}^{2} = \frac{1}{16} {(\vec{x} + 3 \vec{y})}^{2} = \frac{5}{8} {\vec{y}}^{2}$

Vậy tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD).

b) Tìm giao điểm P của SD và (ABM). Chứng minh rằng P là trung điểm của SD.

c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm K của MN và (SBD).

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi K, J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa KI và song song AD.

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và , SA = SB = SC, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ.Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD và AB = 3CD). Gọi H là điểm thuộc cạnh SC sao cho SH = 3HC. Gọi K là giao điểm của SB và (ADH). Tính tỉ số