Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC= a, cạnh SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với (SAB) góc 30 độ. Thể tích khối chóp đã cho.

Câu hỏi:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC= a, $\hat{B S C} = 60 °$ cạnh SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với (SAB) góc 30 độ. Thể tích khối chóp đã cho.

Trả lời:

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC= a, cạnh SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với (SAB) góc 30 độ. Thể tích khối chóp đã cho. (ảnh 1)

Từ C kẻ CH⊥AB tại H. Từ H kẻ HK⊥SB tại K.

+ Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) là SB.

$\{\begin{cases} H K \in (S A B) \\ H K ⊥ S B \end{cases} \{\begin{cases} C H ⊥ S B \\ H K ⊥ S B \end{cases} \Rightarrow S B ⊥ C K$

mà CK ∈ (SBC)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) là $\hat{C K H} = 30 °$

$\{\begin{cases} B C ⊥ A C \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ S C$

Tam giác SBC vuông tại C có góc $\hat{B S C} = 60 °$ nên: $S C = \frac{a}{\sqrt{3}}; S B = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

+ Tam giác SBC vuông tại C có CK là đường cao nên $\frac{1}{C K^{2}} = \frac{1}{C S^{2}} + \frac{1}{C B^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{3}{a^{2}} = \frac{4}{a^{2}}$

Suy ra: $C K = \frac{a}{2}$

+ Tam giác CKH vuông tại H (vì CH⊥(SAB)) và $\hat{C K H} = 30 °$ nên: $C H = C K . \sin 30 ° = \frac{a}{4}$

+ Tam giác ABC vuông tại C và có CH là đường cao nên $\frac{1}{C H^{2}} = \frac{1}{C A^{2}} + \frac{1}{C B^{2}} \Rightarrow \frac{1}{C A^{2}} = \frac{1}{C H^{2}} - \frac{1}{C B^{2}} = \frac{16}{a^{2}} - \frac{1}{a^{2}} = \frac{15}{a^{2}}$

Suy ra: $A C = \frac{a}{\sqrt{15}}$

+ Tam giác ABC vuông tại C nên $A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \frac{4 a}{\sqrt{15}}$

+ Tam giác SAB vuông tại nên $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{\frac{4 a^{2}}{3} - \frac{16 a^{2}}{15}} = \frac{2 a}{\sqrt{15}}$

Thể tích khối chóp là

V = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C} = \frac{1}{6} . S A . A C . B C = \frac{1}{6} . \frac{2 a}{\sqrt{15}} . \frac{a}{\sqrt{15}} . a = \frac{a^{3}}{45}

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD).

b) Tìm giao điểm P của SD và (ABM). Chứng minh rằng P là trung điểm của SD.

c) Gọi N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm K của MN và (SBD).

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi K, J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng chứa KI và song song AD.

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và , SA = SB = SC, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ.Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD và AB = 3CD). Gọi H là điểm thuộc cạnh SC sao cho SH = 3HC. Gọi K là giao điểm của SB và (ADH). Tính tỉ số

\frac{S K}{S B}

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hình chóp S. ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC, H, K lần lượt là trọng tâm của tam giác SAC, SBC.

a, Chứng mình AB// (SMK), HK// (SAB).

b, Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CHK) và (ABC).

c, Tìm thiết diện của hình chóp với (P) đi qua MN và (P) // SC. Thiết diện là hình gì?

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên SA. Tìm giao điểm của đường thẳng và MC và (SBD).

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (SAC).

b) Gọi K là trung điểm của SD. Tìm giao điểm G của BK với mặt phẳng (SAC); hãy cho biết tính chất của điểm G.

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a; . Hình chiếu S lên đáy là trung điểm H cạnh AB, góc tạo bởi SD và đáy là 60°. Tính thể tích V khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, BC= a, cạnh SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với (SAB) góc 30 độ. Thể tích khối chóp đã cho.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: