Cách giải phương trình bậc 2 số phức cực hay, chi tiết - Toán lớp 12

---

Cách giải phương trình bậc 2 số phức cực hay, chi tiết

Với Cách giải phương trình bậc 2 số phức cực hay, chi tiết Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình bậc 2 số phức từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0( a;b;c ∈ R;a ≠ 0).

Xét Δ = b² - 4ac, ta có

+ Δ = 0 phương trình có nghiệm thực x = .

+ Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức:

+ Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức:

+ Chú ý.

Mọi phương trình bậc n: luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0( a; b;c ∈ R;a ≠ 0 có hai nghiệm phân biệt x₁;x₂ (thực hoặc phức).

- Phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x= -1.

– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

Với đa thức f(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + .... + a₁x + a_o chia cho x - a có thương là

g(x) = b_nxⁿ + b_{n - 2}x^{n - 2} + .... + b₁x + b_o dư r

Ví dụ minh họa

	an	an-1	an-2	a2	a1	ao
a	bn-1 = an	bn-2 = abn-1 + an-2	bn-3 = abn-2 + an-3	b1 = ab2 + a2	bo = ab1 + a1	r = abo + bo

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

Ví dụ 1:Giải phương trình bậc hai sau: z² - z + 1 = 0

Hướng dẫn:

Ta có a = 1 ; b = -1 ; c = 1 nên Δ = b² - 4ac = -3 < 0

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là

Ví dụ 2:Trong C , nghiệm của phương trình z² + √5 = 0 là:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án B

Ví dụ 3:Trong C , nghiệm của phương trình z³ - 8 = 0 là :

Hướng dẫn:

Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4:Trong C , phương trình z² + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

Hướng dẫn:

Ta có : a = 1 ; b = i ; c = 4 nên :

Δ = b² - 4ac = (3i)² - 4.1.4 = -25 <0

Phương trình có hai nghiệm phức là:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 5:Cho z = 1 - i. Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Trong C , phương trình (z² + i)(z²- 2iz - 1) = 0 có nghiệm là:

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A.

Ví dụ 7:Trong C , phương trình có nghiệm là:

(1 ± √3)i        B. (5 ± √2)i        C. (1 ± √2)i        D.(2 ± √(5)i)

Hướng dẫn:

Chọn đáp án A.

B. Bài tập vận dụng

Câu 1:Trong C, phương trình 2x² + x + 1 = 0 có nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có:Δ = b² - 4ac = 1² - 4.1.1 = -7 = 7i² <0

nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Câu 2:Trong C , phương trình z² - z + 1 = 0 có nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Δ = b² - 4ac = -3 < 0

Nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Câu 3:Trong C , nghiệm của phương trình z² = -5 + 12i là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Giả sử z = x + yi là một nghiệm của phương trình.

Do đó phương trình có hai nghiệm là

Câu 4: Trong C , phương trình z⁴-6z² + 25 = 0 có nghiệm là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Câu 5:Biết z₁;z₂ là hai nghiệm của phương trình z² + √3 z + 3 = 0. Khi đó giá trị của z₁² + z₂² là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Câu 6: Phương trình z² + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i. Tổng 2 số a và b bằng:

A. 0        B.        C. 3        D. -1

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Vì z = 1 + 2i là một nghiệm của phương trình z² + az + b = 0 nên ta có:

(1 + 2)² + a(1 + 2i) + b = 0

<=> a + b + 2ai = 3 - 4i

<=> a + b = 3

Câu 7:Gọi z₁;z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² - 4z + 5 = 0. Khi đó phần thực của z₁² + z₂² là:

A. 5        B. 6        C. 4        D. 7

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Theo Viet, ta có:

Câu 8:Gọi z₁;z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² + 2z + 4 = 0. Khi đó A = |z₁|² + |z₂|² có giá trị là

A.-7         B. – 8         C.-4        D. 8

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z² - 6z + 13 = 0. Tính

A. √17 và 4        B. √17 và 5        C. √17 và 3        D. √17 và 2

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Câu 10: Gọi z₁;z₂ là các nghiệm phức của phương trình z² + (1-3i)z - 2(1+i) = 0. Khi đó w = z₁² + z₂² - 3 z₁z₂ là số phức có môđun là:

A.5        B.√13        C. 2√13        D. √20

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Theo Viet, ta có:

Câu 11: Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z² + 8|z|² -3 = 0 là:

A. 3        B. 2        C. 4        D. 1

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Gọi z = a + bi là nghiệm của phương trình.

Ta có:

Vậy phương trình có 4 nghiệm phức

Câu 12: Cho phương trình z² + mz - 6i = 0. Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m = +(a + bi) (a,b ∈ R) có dạng . Giá trị a+2b là:

A. 0         B. 1        C. -2        D. -1

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi z₁;z₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho

Theo Viet, ta có:

Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có:

Câu 13:Gọi z₁;z₂;z₃;z₄ là các nghiệm phức của phương trình Giá trị của là :

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Với mọi , ta có: