Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = 4x² – 4mx + m² – 2m trên đoạn [–2; 0] bằng 3. Tính tổng T các phần tử của S.

A. \(T = - \frac{3}{2}\)

B. \(T = \frac{1}{2}\)

C. \(T = \frac{9}{2}\)

D. \(T = \frac{3}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Parabol có hệ số theo x² là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh \({x_I} = \frac{m}{2}\)

+) Nếu \(\frac{m}{2} < - 2 \Leftrightarrow m < - 4\) thì \({x_I} < - 2 < 0\). Suy ra f(x) đồng biến trên đoạn [–2; 0]

Do đó \({\min _{[ - 2;0]}}f(x) = f( - 2) = {m^2} + 6m + 16\)

Theo yêu cầu bài toán: \({m^2} + 6m + 16 = 3 \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 13 = 0\)(vô nghiệm)

+) Nếu \( - 2 \le \frac{m}{2} \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 0\) thì \({x_I} \in [0;2]\)

Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Do đó \({\min _{[ - 2;0]}}f(x) = f\left( {\frac{m}{2}} \right) = - 2m\)

Theo yêu cầu bài toán \( - 2m = 3 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}\) (thỏa mãn \( - 4 \le m \le 0\) )

+) Nếu \(\frac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0\) thì \({x_I} > 0 > - 2\). Suy ra f(x) nghịch biến trên đoạn [–2; 0]

Do đó \({\min _{[ - 2;0]}}f(x) = f\left( 0 \right) = {m^2} - 2m\)

Theo yêu cầu bài toán \({m^2} - 2m = 3 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 3\end{array} \right.\)

Mà m > 0 nên m = 3

Ta có bảng biến thiên:

Suy ra tổng các phần tử của S là \(T = \frac{{ - 3}}{2} + 3 = \frac{3}{2}\)

Vậy đáp án cần chọn là: D.