Rút gọn tổng sau: S = C n 1 + 2 C n 2 + 3 C n 3 + + n C n n ta được A. S = n.2^n
Câu hỏi:
Rút gọn tổng sau: S=C1n+2C2n+3C3n+...+nCnn ta được:
A. S = n . 2n
B. S = 2n+1
C. S = n. 2n-1
D. S = 2n-1.
Trả lời:
Đáp án đúng là: C
Ta có kCkn=k.n!k!(n−k)!=n(n−1)!(k−1)![n−1−(k−1)]!=nCk−1n−1
Khi đó: S=C1n+2C2n+3C3n+...+nCnn
S=nC0n−1+nC1n−1+...+nCn−1n−1
S=n(C0n−1+C1n−1+...+Cn−1n−1)
Ta có: (a+b)n−1=C0n−1.an−1+C1n−1.an−2b+C2n−1an−3b2+...+Cn−1n−1.bn−1
Thay a = 1,b = 1 vào biểu thức ta được
2n−1=C0n−1+C1n−1+...+Cn−1n−1
Suy ra S=n(C0n−1+C1n−1+...+Cn−1n−1)=n.2n−1
Vậy ta chọn đáp án C.
