Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình x^3 - 3x^2 + (2m - 2)x

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình x³ – 3x² + (2m – 2)x + m – 3 = 0 có ba nghiệm x₁, x₂, x₃ thỏa mãn x₁ < –1 < x₂ < x₃.

A. m > –5

B. m < –5

C. m ≤ –5

D. m < –6.

Đáp án đúng là: B

Đặt f(x) = x³ – 3x² + (2m – 2)x + m – 3 = 0. Ta thấy hàm số liên tục trên ℝ

Dễ thấy nếu \(x \to - \infty \) thì \(f(x) \to - \infty \) hay \(f(x) < 0\)

Suy ra điều kiện cần để f(x) = 0 có 3 nghiệm thỏa mãn

\({x_1} < - 1 < {x_2} < {x_3}{\rm{ l\`a }}f( - 1) > 0 \Leftrightarrow - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < - 5\)

Điều kiện đủ: với m < –5 ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \) nên tồn tại a < –1 sao cho f(a) < 0

Mặt khác \(f( - 1) = - m - 5 > 0\). Suy ra \(f(a).f( - 1) < 0\)

Do đó tồn tại \({x_1} \in (a; - 1)\) sao cho \(f\left( {{x_1}} \right) = 0\)

\(f(0) = m - 3 < 0,f( - 1) > 0\). Suy ra \(f(0).f( - 1) < 0\)

Do đó tồn tại \({x_2} \in ( - 1;0)\) sao cho \(f\left( {{x_2}} \right) = 0\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \) nên tồn tại b > 0 sao cho f(b) > 0

Mặt khác f(0) < 0. Suy ra f(0) . f(b) < 0

Do đó tồn tại \({x_3} \in (0;b)\) sao cho \(f\left( {{x_3}} \right) = 0\)

Suy ra m < –5 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy đáp án cần chọn là: B.