Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1,-1,2), song song với mặt

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{3y}{2}=\frac{3-z}{1}$ ?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆$ vuông góc với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có phương trình $x+2z+3=0$ . Một vectơ chỉ phương của $∆$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-5\overrightarrow{k};\overrightarrow{OB}=-2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$ . Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2,-1,3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(1;2;-4\right)$  là

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=20$ , mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  có phương trình: $x-2y+2z-1=0$  và đường thẳng $∆$ có phương trình: $\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+4}{-3}$ . Viết phương trình đường thẳng ${\Delta }^{\text{'}}$  nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ , vuông góc với đường thẳng $∆$, đồng thời ${\Delta }^{\text{'}}$  cắt mặt cầu (S) theo dây cung có độ dài lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2,1,-2), B(5,1,1) và mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2+6y+12z+9=0$ . Xét đường thẳng d đi qua A và tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng d là

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{-1}$  và mặt cầu (S) có phương trình: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-5\right)}^2=36$ . Gọi $∆$ là đường thẳng đi qua $A\left(2;1;3\right)$ , vuông góc với đường thẳng d và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng $∆$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;a;b\right)$ . Giá trị của $a+b$  bằng

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm M(3,1,1), nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y-z-3=0$  và tạo với đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=4+3t\\ z=-3-2t\end{array}\right.$  một góc nhỏ nhất thì phương trình của đường thẳng $∆$ là