Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: (x+1)/1=y/-3=(z-5)/-1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):x+my+\left(m^2-1\right)z-7=0$ với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{1}$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-y+2z-5=0$ , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x+5y-z-2=0$  là

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-z-1=0,\left(Q\right):2x+y-z+2=0$

và hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2},{\Delta }_2:\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ .

Đường thẳng $∆$  song song với hai mặt phẳng $\left(P\right),\left(Q\right)$  và cắt ${\Delta }_1,{\Delta }_2$  tương ứng tại $H,K$ . Độ dài đoạn HK bằng