Tứ diện ABCD có AB=2, CD+2 căn 2, góc ABC=góc DAB=90độ và góc giữa AD, BC bằng 45 độ

Câu hỏi:

Tứ diện ABCD có $AB=2,CD=2\sqrt{2}$ $\widehat{ABC}=\widehat{DAB}=90°$ và góc giữa AD, BC bằng $45°$. Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2\sqrt{3}$

D. $\sqrt{5}$

Trả lời:

Dựng hình chữ nhật ABED. Ta có mặt cầu tâm I ngoại tiếp tứ diện ABCD cũng phải đi qua điểm E.

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDE.

Ta có 

Vì

Dựng tam giác vuông cân COE trong mặt phẳng (BCE) sao cho B và O nằm cùng phía với CE

Ta chứng minh được O là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆BCE$. Dựng hình chữ nhật MEOI với M là trung điểm DE thì I là giao điểm của mặt phẳng trung trực của DE với trục của đường tròn ngoại tiếp $∆BCE$ nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDE.

Ta có:

(vì tam giác CED vuông tại E)

Đáp án cần chọn là: B