Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng - Toán lớp 12

---

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d và d₁ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng d₁ nên tọa độ B có dạng... ( theo tham số t).

=> Tọa độ AB→

+ Xác định vecto chỉ phương u₁→  của đường thẳng d₁.

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d₁ nên

=>

=>Phương trình ẩn t ....=> t= ...

=> Tọa độ điểm B.

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d₁ có phương trình tham số: và điểm A(0;1; 0). Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d₁ là:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương là:

Gọi giao điểm của đường thẳng d và d₁ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng B( -3;1-t;2t)

=>

Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d₁ nên ta có:

⇔

⇔ 0. (-3) – 1( - t) + 2.2t= 0 ⇔ 5t= 0 ⇔ t= 0

Suy ra tọa độ B( - 3; 1; 0)

+ Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0;1; 0) và có vecto chỉ phương:

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho điểm A( -1; -2; 3) và đường thẳng d: . Đường thẳng Δ đi qua cắt và vuông góc với đường thẳng d. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ

A . ( 4; 4; 0)

B. (2; -2; 1)

C. ( 2;4; 1)

D. ( 3; -3;0)

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M

Khi đó :

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

Khi đó :

⇔ 1. 2t+ 1( 3+ 2t) – 2( - 4t- 3) =0

⇔ 2t+ 3+ 2t+ 8t+ 6 = 0⇔ 12t + 9= 0

⇔ t= (-3)/4

Suy ra là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn D.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A(1; 0;2) và đường thẳng d có phương trình . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A vuông góc và cắt d

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Gọi :

Do

⇔t+t+2(2t-3)=0⇔6t-6=0 nên t=1⇒

Đường thẳng Δ đi qua A và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho đường thẳng Δ có phương trình chính tắc: ; điểm A(-1;2; 0) . Đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng Δ tại điểm có tọa độ là?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Ta có đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng Δ nên tọa độ B có dạng B( 1+3t; -1-2t; t)

=>

+ Do

⇔ 3( 2+ 3t) – 2( - 3 -2t) + 1. t= 0

⇔ 6+ 9t + 6 + 4t + t= 0

⇔ 14t+ 12= 0 ⇔ t= (- 6)/7

=> Tọa độ giao điểm của d và Δ là

Chọn A.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm M( 1;1;1) và đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2;0) và B(-1;3;3). Gọi Δ là đưởng thẳng qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường thẳng d và Δ cắt nhau tại . Tính a+ b ?

A. 16

B. – 10

C. 18

D. -8

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A( 1;2;0) và B( -1; 3;3) nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Gọi N là giao điểm của Δ và d.

Do N thuộc đường thẳng d nên tọa độ N( 1- 2t; 2+ t; 3t)

=>

+ Do

⇔ - 2. (-2t) + 1. ( 1+ t) + 3( 3t-1) = 0 ⇔ 4t+ 1+ t+ 9t – 3 = 0⇔ 14t - 2= 0 ⇔ t= 1/7

=> Tọa độ điểm

=> a= 15 và b= 3 nên a+ b= 18

Chon C.

Ví dụ 6: Cho điểm A (-4; -2; 4) và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d₁

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách 1:

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2.(x + 4) – 1 . (y + 2) + 4. (z – 4) = 0 hay 2x – y + 4z – 10 = 0

- Gọi giao điểm của ( P) và d1 là B( -3+ 2t; 1- t; - 1+ 4t) .

Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được: 2( -3+ 2t)- ( 1-t)+ 4(- 1+4t) – 10= 0 ⇔ - 6+ 4t – 1+ t – 4+ 16t – 10=0 ⇔ 21t – 21= 0 ⇔ t= 1 => B (-1; 0; 3)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 2:

Vecto chỉ phương của đường thẳng d₁ là:

Gọi B là giao điểm của d và d₁, vì d vuông góc với d₁ nên

Tọa độ của B (-3+2t; 1-t;-1+4t)

=>

⇔2(1+2t)-(3-t)+4(-5+4t)=0

⇔t=1

=>

Vậy phương trình của d là :

Ví dụ 7: Cho điểm A (2; 3; -1) và đường thẳng . Đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d₁. Trong các vecto sau vecto nào không là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A ( 6; 5; -32)

B. ( 6; -5; 16)

C. ( - 12; -10; 64)

D. ( -18; -15; 96)

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương

+ Gọi B là giao điểm của d và d₁, vì d vuông góc với d₁ nên

Tọa độ của B (2t; 4t;3+t)

=>

+ ⇔t=4/7

=>

+ Ta thấy các vecto trong các phương án A; C; D cùng phương với vecto AB→  nên các vecto trong các phương án A; C và D cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn B.

Ví dụ 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm O và M( 1; 2; -1). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(-1;2;-1), cắt và vuông góc với d là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Gọi Δ là đường thẳng cần tìm. Gọi giao điểm của d và Δ là B.

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm O và M (1; 2; -1) nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương.

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Do B thuộc d nên tọa độ B( t; 2t; - t) =>

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

+ Do ⇔ t+ 1 + 4t – 4- 1+ t= 0 ⇔ 6t – 4= 0 nên t= 2/3

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( -1;2; -1) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): 2x+ y- z -1= 0. Biết Δ vuông góc và cắt đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được: ⇒2t-2+t-(2-2t)-1=0⇔5t-5=0 ⇔ t=1⇒M(1;-1;0)∈Δ.

Ta có Vecto pháp tuyến của (P) là :

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là

Khi đó

⇒ .

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Cho đường thẳng d₁ có phương trình tham số: và điểm A(0; 1; 2). Phương trình tham số đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d₁ là:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương là:

Gọi giao điểm của đường thẳng d và d₁ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng d1 nên tọa độ B có dạng B(-t; 2t; -1-t)

=>

Vì đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d₁ nên ta có:

⇔

⇔ - 1( - t) + 2( 2t- 1) – 1( - 3- t) = 0

⇔ t+ 4t- 2+ 3+ t= 0 ⇔ 6t+ 1= 0 ⇔ t= (- 1)/6

Suy ra tọa độ

+ Đường thẳng cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 0;1; 2) và có vecto chỉ phương:

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 2:

Cho điểm A( -3; 1; 2) và đường thẳng . Đường thẳng Δ đi qua cắt và vuông góc với đường thẳng d. Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M . Tính AM?

A . 6

B. 8

C.

D.

Lời giải:

Khi đó

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

Khi đó

⇔ - 2( - 4- 2t) + 1( t- 1) + 1(t- 1)= 0

⇔ 8+ 4t + t- 1+ t- 1= 0 ⇔ 6t + 6= 0

⇔ t= - 1

Suy ra

=>

Chọn D.

Câu 3:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho điểm A( - 3;1; -2); B ( 1; 3;0) và đường thẳng d có phương trình . Gọi M là trung điểm AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M vuông góc và cắt d

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Do M là trung điểm AB nên tọa độ M( - 1; 2; -1).

Ta có là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Gọi

Do

⇔

⇒

Đường thẳng Δ đi qua M và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình Δ:

Chọn B.

Câu 4:

Cho đường thẳng Δ có phương trình điểm A( -3; -2; 0) . Đường thẳng d đi qua điểm A đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng Δ tại điểm có tọa độ là?

A. ( 0; -1; 2)

B. ( -2; -3; 2)

C. (1; 0;2)

D. ( 2; 3; 2)

Lời giải:

+ Ta có đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là B.

+ Vì B thuộc đường thẳng Δ nên tọa độ B có dạng B( -2t; -1-2t; 2)

=>

Do

=0

⇔ - 2( -2t+ 3) – 2( 1-2t) + 0.2 = 0

⇔ 4t – 6 – 2 + 4t+ 0 = 0

⇔ 8t- 8= 0 ⇔ t= 1

=> Tọa độ giao điểm của d và Δ là B ( -2; - 3; 2)

Chọn B.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm M(2; 0;2) và đường thẳng d đi qua hai điểm A(-1; 2;-2) và B(0; -1; 2). Gọi Δ là đường thẳng qua M vuông góc và cắt d. Biết rằng đường thẳng d và Δ cắt nhau tại N . Tìm hoành độ điểm N?

A.(-1)/28

B.(- 1)/18

C. (- 1)/26

D.3/2

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Gọi N là giao điểm của Δ và d.

Do N thuộc đường thẳng d nên tọa độ N(-1+ t; 2- 3t; -2+ 4t)

=>

Do

⇔ 1( -3+ t) – 3( 2- 3t) + 4( - 4+ 4t)= 0

⇔ - 3+ t – 6 +9t – 16 + 16t = 0 ⇔ 26t - 25= 0

⇔ t= 25/26

=> Hoành độ điểm N:

Chon C.

Câu 6:

Cho điểm A ( 2;1; 0); B( -1; 2; -1) và C( -2; 0;0). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng BC?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Vecto chỉ phương của đường thẳng BC là:

=> Phương trình đường thẳng BC:

+ Gọi D là giao điểm của d và BC, vì d vuông góc với BC nên

Tọa độ của D (-2-t;-2t;t)

=>

Do

⇔ 4+ t + 4t+ 2 + t= 0 ⇔6t+ 6= 0

⇔t=-1

=>

Vậy phương trình của d là :

Chọn B.

Câu 7:

Cho điểm A (-2; 1; 4) và đường thẳng . Đường thẳng d đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d₁. Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A ( 6; - 12; -12)

B. ( 7; - 6; -6)

C. ( 14; -9; -9)

D. (- 6; 9; 9)

Lời giải:

+ Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương

+ Gọi B là giao điểm của d và d₁, vì d vuông góc với d₁ nên

Tọa độ của B (- 2+2t; -t;3-t)

=>

+ Do

⇔ -4 + t – 3+ t= 0 ⇔ 2t- 7= 0

⇔ t=7/2

+ Ta thấy vecto cùng phương với vecto AB→ nên vecto này cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm O và M(2;1; 4). Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A(-3; -2; -1), cắt và vuông góc với d là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi Δ là đường thẳng cần tìm. Gọi giao điểm của d và Δ là B.

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm O và M (2;1;4) nên đường thẳng này nhận vecto làm vecto chỉ phương.

=> Phương trình đường thẳng d:

+ Do B thuộc d nên tọa độ B( 2t; t; 4t) =>

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

+ Do

⇔ 4t+ 6 + t+ 2+ 16t + 4= 0

⇔ 21t + 12= 0 nên t= (-4)/7

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( - 3; -2; -1) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P): x- y + z -1= 0. Biết Δ vuông góc và cắt đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi :

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ( P) ta được:

⇒1+2t-t+2-2t-1=0⇔-t+2=0

⇔ t=2⇒M( 5;2; -2)∈Δ.

Ta có Vecto pháp tuyến của (P) là :

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là

Khi đó

⇒

Chọn A.