Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng - Toán lớp 12

---

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng

Với Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d’ và chứa d₁

- Viết phương trinh mặt phẳng (Q) song song với d’ và chứa d₂

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Cách 2:

M = d ∩ d₁; N = d ∩ d₂

Vì d // d’ nên và cùng phương hay

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình của đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ biết:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Vecto chỉ phương của ba đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ lần lượt là

- Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là

=>

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (P) là

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (2; -2; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 1.(x – 2) – 1.(y + 2) + 1. (z – 1) = 0 hay x – y + z – 5 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với d₃

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là

=>

Hay chọn 1 vectơ pháp tuyến của (Q) là

Một điểm thuộc d₂ là điểm thuộc (Q) là : (7; 3; 9)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 7) + 1.(y – 3) + 2. (z – 9) = 0 hay y + 2z – 21 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z = t, ta có:

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn A.

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Ox và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d₁ và d₂ có vecto chỉ phương là :

Trục Ox có vecto chi phương

- Mặt phẳng (P) chứa d₁ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (P) là

=>

Một điểm thuộc d₁ là điểm thuộc (P) là : (0; 0; 1)

Phương trình mặt phẳng (P) là: 0.(x – 0) + 3.(y – 0) – 2 . (z – 1) = 0 hay 3y – 2z + 2 = 0

- Mặt phẳng (Q) chứa d₂ và song song với Ox

Ta có vectơ pháp tuyến của (Q) là

=>

Một điểm thuộc d₂ là 1 điểm thuộc (Q) là : (2; -1; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 0.(x – 2) + 2.(y + 1) – 3 . (z + 1) = 0 hay 2y – 3z – 1 = 0

- Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q) nên

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình tham số của d là:

Cách 2:

M = d ∩ d1 => M (t; 2t; 1+ 3t)

N = d ∩ d2 => N (2-t’; -1+3t’; -1+2t’)

Ox có 1 vectơ chỉ phương là cùng phương với

=>

=>

d//Ox nên

Vậy phương trình của d là:

Chọn C.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

A .

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

Do A thuộc d1 nên tọa độ A (- 1+ 3a; 2+ a; 1+ 2a)

Do B thuộc d2 nên tọa độ B ( 1+ b; 2b; - 1+ 3b)

Vecto là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .

+ Do đường thẳng d//Δ nên haii vecto cùng phương

=> có một số k thỏa mãn

=> Tọa độ A( 2; 3; 3) và B(2; 2; 2)

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( 2; 3; 3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M( 1;1;1 ) và N(0; -2 ; 3) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và d₂; song song với đường thẳng MN.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( a; 3- 2a; 1- a)

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( 1- b;2+ 2b; - 2) .

=> Vecto là một vecto chỉ phươn của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔

=> Tọa độ của

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d₁ và trục Ox; song song trục Oz?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Trục Ox: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Ox: .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d₁ và trục Ox lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d₁ nên tọa độ A( 1+ a; - 3+ 3a; - 2a)

+ Do B thuộc trục Ox nên tọa độ B( b; 0; 0) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:

⇔

=> tọa độ A( 2;0; - 2) và B( 2; 0; 0 )

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua A( 2; 0; -2) và có vecto chỉ phương là :

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho hai điểm A( 1; 0; -2) và B( -1; 2; 4). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d₁

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M( 0; 1;1) .

+ Đường thẳng AB đi qua A (1; 0; -2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d₁ và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d₁ nên H ( - a; - 1+ 2a; 3+ a)

+ Do K thuộc AB nên K( 1- b; b; - 2+ 3b)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ

Chọn C.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và cho hai điểm A(-1; 2; 1); B( 1; 0; 1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và AB; song song với trục Oy. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d?

A. ( -1; 2; 0)

B. (0; -2; - 3)

C. (2; 3; 1)

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( -1; 2; 1) và hận vecto làm vecto chỉ phương

=> PHương trình đường thẳng AB:

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d₁ và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d₁ nên M( - 2; 1+ m; 2)

+ Do N thuộc AB nên N( -1+ n; 2- n; 1)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

Lại có; d song song trục Oy nên một vecto chỉ phương của d là

=> 2 vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Không tồn tại đường thẳng d thỏa mãn đầu bài.

Chọn D

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+ 3y – 2z + 1= 0 và hai đường thẳng , . Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1; d2 có phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi

Do

cùng phương

⇔

Đường thẳng Δ đi qua N( 0; -1; 1) và có vectơ chỉ phương

⇒Δ:

Chọn C.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ y- 2z + 3= 0 . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P) và cắt d1; d2 lần lượt tại hai điểm A; B sao cho . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Điểm A thuộc d₁ nên A( 1+ 2a; - 1+ a;a)

Điểm B thuộc d₂ nên B( 1+ b; 2+ 2b; b)

=> Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Vì Δ// mp (P) nên

=> ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3+ 2b- a) – 2( b- a) = 0 ⇔ b- 2a + 3 + 2b – a – 2b + 2a= 0 ⇔ b – a+ 3= 0 ⇔ b= a- 3

Khi đó nên

Theo đề bài:

⇔ 2a²+ 27 = 29 ⇔ a²= 1

⇔

Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn là

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁, d₂ và song song với d₃ biết . Tìm tọa độ giao điểm của d và d2?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d₁; d₂lần lượt là A và B

+ Do A thuộc d₁ nên tọa độ A( 2a; -2+ a; -1)

+ Do B thuộc d₂ nên tọa độ B( b; 0; b)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ đường thẳng d₃ có vecto chỉ phương . Mà d// d₃ nên đường thẳng d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

⇔

=> Tọa độ giao điểm của d và d₂ là:

Chọn A.

Câu 2:

Cho 2 đường thẳng . Đường thẳng d cắt d₁ và Oz; song song với d₂. Tìm tọa độ giao điềm của d và trục Oz

A. N(0;0;-3)

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi M = d ∩ d₁ => M ( - 2- m; 2m; - 2m)

Gọi N = d ∩ Oz => N ( 0; 0; n)

Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Đường thẳng d₂ có 1 vectơ chỉ phương là .

Lại có đường thẳng d// d₂ nên đường thẳng d nhận vecto u→ làm vecto chỉ phương

=> Vecto u→ cùng phương với

=>

=> là giao điểm của d và Oz

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng song song với d: và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

A .

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

Gọi giao điểm của Δ với d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

Do A thuộc d₁ nên tọa độ A ( -2a; 1+3a; 1+ 2a)

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B ( - 2b; 1+ b; - 1+ b)

Vecto là một vecto chỉ phương của Δ.

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .

+ Do đường thẳng d//Δ nên đường thẳng Δ nhận vecto u_d→ làm vecto chỉ phương

=> hai vecto cùng phương nên có một số k thực thỏa mãn

=> Tọa độ A( - 2; 4; 3) và B( - 6; 4; 2)

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( - 2; 4; 3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Cho hai điểm M(2; 1; -2) và N( 3; 2; 1) . Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và d₂; song song với đường thẳng MN.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với 2 đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( 1; 2a; 1-a)

+ Điểm B thuộc d₂ nên B( - b; 2; -2+ b) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Đường thẳng MN nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d// MN nên 1 vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ của

Đường thẳng d đi qua A và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn B

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng d₁ và trục Oy; song song trục Oz?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Trục Oy: đi qua O (0; 0; 0)và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> phương trình trục Oy: .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d với đường thẳng d₁ và trục Oy lần lượt là A và B.

+ Do A thuộc d₁ nên tọa độ A( 1+ a; -a; -2)

+ Do B thuộc trục Oy nên tọa độ B(0; b; 0) .

=> Vecto là một vecto chỉ phương của đường thẳng d

+ Trục Oz có vecto chỉ phương là: .

Lại có đường thẳng d// Oz nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 thỏa mãn:

=> tọa độ A(0; 1; - 2) và B( 0; 1; 0 )

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng AB: đi qua B( 0; 1; 0) và có vecto chỉ phương là :

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; cho hai điểm A(-2; 1; -3) và B( - 2; 1; -1). Đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và AB; song song với đường thẳng OM trong đó M là trung điểm AB. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và AB

A.(-2;1;0)

B. ( -2; 1; 2)

C. (-2; 1; -4)

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M(-2; 1; -2) .

+ Đường thẳng AB đi qua A (-2; 1; -3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng d₁ và AB lần lượt là H và K

+ Do H thuộc d₁ nên H ( 1+ a; 2a; -1+ a )

+ Do K thuộc AB nên K( - 2; 1; - 3+ b)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có d song song với OM nên d cũng nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Hai vecto cùng phương nên tồn tại số thực k khác 0 sao cho:

=> Tọa độ K( - 2; 1; - 4)

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và cho hai điểm A(0; 1; 2); B(2; 2; 2). Viết phương trình đường thẳng d cắt hai đường thẳng d₁ và AB; song song với trục Oz.

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: Đi qua A(0;1;2) và hận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng AB:

+Gọi giao điểm của đường thẳng d với d₁ và AB lần lượt tại M và N .

+ Do M thuộc d₁ nên M( 1+ m; 1- m; - 1)

+ Do N thuộc AB nên N( 2n; 1+ n; 2)

=> Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Lại có; d song song trục Oz nên một vecto chỉ phương của d là

=> 2 vecto cùng phương nên tồn tại số thực t khác 0 sao cho:

=>

+ Đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng MN đi qua N( 2/3; 4/3;2) và có vecto chỉ phương .

=> Phương trình d:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Gọi Δ là đường thẳng song song với (P): x+ y + z- 7= 0 và cắt d₁; d₂ lần lượt tại hai điểm A; B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng Δ là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Điểm A thuộc d₁ nên A( 1+ 2a; a; - 2- a)

Điểm B thuộc d₂ nên B( 1+b; -2+ 3b; 2- 2b)

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Vì đường thẳng Δ// ( P) nên

=> ⇔ 1( b- 2a) + 1( 3b- a- 2) + 1( - 2b+ a+ 4) = 0

⇔ b- 2a + 3b – a- 2 – 2b + a+ 4= 0 ⇔ 2b – 2a + 2= 0 ⇔ 2b= 2a- 2 ⇔ b= a- 1

=>

Khi đó :

Dấu “=” xảy ra khi

Đường thẳng Δ đi qua điểm A và vec tơ chỉ phương

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn B.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng mặt cầu (S): ( x-1)² + (y+3)²+ (z+ 1)² = 29 và A( 1; -2; 1). Đường thẳng Δ cắt d và (S) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Phương trình đường thẳng Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+Điểm M thuộc đường thẳng d nên M( 2+ t; 1+ 2t;1- t)

+ Do A là trung điểm MN nên tọa độ N( -t; - 5- 2t;1+ t) .

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; -2; 1) và có vectơ chỉ phương

=> Có hai đường thẳng thỏa mãn đề bài là:

Chọn C.