Với điều kiện nào của m thì mặt phẳng cong sau là mặt cầu? S x^2+ y^2+ z^2 + 2(3-m)x - 3(m+1)y -2mz + 2m^2 +7 = 0

Cho đường tròn (C)  đường kính AB  và đường thẳng $\Delta$. Để hình tròn xoay sinh bởi (C)  khi quay quanh $\Delta$ là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

(I) Đường kính AB thuộc $\Delta$.

(II) $\Delta$ cố định và đường kính AB thuộc $\Delta$.

(III) $\Delta$ cố định và hai điểm A, B cố định trên $\Delta$.

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho $BC=R\sqrt{3}$. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

Giá trị $\alpha$ phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong là mặt cầu: $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2\left(3-{\cos }^2\alpha \right)x+4\left({\sin }^2\alpha -1\right)+2z+\cos 4\alpha +8=0$? $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Giá trị t phải thỏa mãn điều kiện nào để mặt cong sau là mặt cầu: $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2\left(2-\ln t\right)x+4\ln t.y+2\left(\ln t+1\right)z+5{\ln }^{2}t+8=0$

Tìm tập hợp các tâm I của mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+2\left(1-m\right)x+$$2\left(3-2m\right)y$$2\left(m-2\right)z+5m^2-9m+6=0$

Với giá trị nào của m thì mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+z-5=0$ tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2mx+2\left(2-m\right)y-4mz+5m^2+1=0?$