Xét các số thực dương thỏa mãn log3 1-xy / x+2y = 3xy+x+2y-4. Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi:

Xét các số thực dương thỏa mãn ${\log }_3\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4$. Tìm giá trị nhỏ nhất S_min  của S = x + y

A. $S_{min}=\frac{9\sqrt{11}}{9}-1$

B. $S_{min}=\frac{9\sqrt{11}-9}{9}$

C. $S_{min}=\frac{2\sqrt{11}-9}{9}$

D. Đáp án khác

Trả lời:

Chọn D.

Ta có: $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 3}+1>0, \forall t>0$

$\Rightarrow f\left(t\right)$ đồng biến với t > 0

Khi đó (*) trở thành: f( 3 - 3xy) = f(x+2y)

$$\begin{gathered} \Rightarrow 3-3xy=x+2y \\ \iff y\left(2+3x\right)=3-x \\ \iff y = \frac{3-x}{2+3x} \end{gathered}$$

Vậy $S = x+\frac{3-x}{3x+2}=\frac{3x^2+x+3}{3x+2}$

$\Rightarrow S\text{'}=\frac{9x^2+12x-7}{{\left(3x+2\right)}^2}$

S' = 0 $\iff \frac{9x^2+12x-7}{{\left(3x+2\right)}^2}=0\iff 9x^2+12x-7=0\iff$$\left[\begin{array}{c}x=\frac{-2+\sqrt{11}}{3}\Rightarrow S=\frac{-3+2\sqrt{11}}{3}\\ x=\frac{-2-\sqrt{11}}{3}\Rightarrow S=-\frac{3+2\sqrt{11}}{3}\end{array}\right.$

Vậy $S_{min}=-\frac{3+2\sqrt{11}}{3}$