Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 2f(x) + 3f(1-x) =1-x^2 .Tính

Câu 1:

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = $\sqrt{3}$ , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( $0\le x\le \sqrt{3}$ ) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và  $\sqrt{1+x^2}$ 

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho parabol (P): y= $x^2+m$ . Gọi  (d) là tiếp tuyến với  (P) qua O có hệ số góc k > 0. Xác định m để thể tích vật thể được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi (P), (d)  và trục Oy quay quanh trục Oy bằng 6$\mathrm{\pi }$.

Xem lời giải »

Câu 3:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số $y = \frac{x^2}{4}$   trong miền $x\ge 0, y\le 1$ là phân số tối giản $\frac{a}{b}$ . Khi đó b - a bằng

Xem lời giải »

Câu 4:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \left\{\begin{array}{l}-x, nếu x\le 1\\ x-2, nếu x>1\end{array}\right.$ và y = $\frac{10}{3}x - x^2$  là $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) . Khi đó a + 2b bằng

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hàm số y = f(x) có $1\le f\text{'}\left(x\right)\le 4$   với mọi $x\in \left[2;5\right]$. Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho m thỏa mãn ${\int }_1^2\left[m^2+\left(4-4m\right)x +4x^3\right]dx = {\int }_2^{4}2xdx$. Nghiệm của phương trình ${\log }_3 \left(x+m\right) = 1$ là:

Xem lời giải »

Câu 7:

Tính tích phân $I = {\int }_1^5\frac{1}{x\sqrt{3x + 1}}dx$   được kết quả I = aln3 + bln5 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a² + ab + 3b²  là

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx = -3$   . Tính  ${\int }_2^{4}f\left(\frac{x}{2}\right)dx$

Xem lời giải »