Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC=CD=DB=BA=2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC=CD=DB=BA=2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng:

A. $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{32 \sqrt{3}}{27}$

C. $\frac{16 \sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{32 \sqrt{3}}{9}$

Trả lời:

Chọn C

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD và BC.

Theo giả thiết ta có: ABD và ACD là các tam giác cân có M là trung điểm của AD nên:

Và có BM=CM => ΔMBC cân tại M

Trong tam giác ΔMBC có MN vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên

Khi đó diện tích tam giác ΔMBC là:

Thể tích tứ diện ABCD là:

Đặt AD=2x, BC=2y ta có:

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} . 2 x . 2 y . \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} = \frac{2}{3} . \sqrt{x^{2} y^{2} (4 - x^{2} - y^{2})} \leq \frac{2}{3} \sqrt{\frac{{(x^{2} + y^{2} + (4 - x^{2} - y^{2}))}^{3}}{27}} = \frac{16 \sqrt{3}}{27}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x^{2} = y^{2} = \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD là: $\frac{16 \sqrt{3}}{27}$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho tứ diện OABC biết OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, biết OA=3, OB=4 và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng:

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt đường thẳng SD tại E. Gọi V và V₁ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và D.ACE. Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD biết V = 5 $V_{1}$

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho hình chóp S. ABC, có AB=5 (cm), BC=6 (cm), AC=7 (cm). Các mặt bên tạo với đáy 1 góc 60⁰. Thể tích của khối chóp bằng:

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a/2. Thể tích của khối lăng trụ bằng:

Xem lời giải »

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB = a, BC = $a \sqrt{2}$ , SC=2a và . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

Xem lời giải »

Câu 6:

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC hợp với đáy một góc 30⁰, M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S. BCM.

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho điểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S. ABC sao cho $\frac{S M}{M A} = \frac{1}{2}, \frac{S N}{N B} = 2$ . Mặt phẳng (α) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V₁ là thể tích của khối đa diện chứa A, V₂ là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, biết SC = $a \sqrt{3}$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SD, CD, BC. Tính thể tích khối chóp AMNPQ

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC=CD=DB=BA=2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: