Bài tập Nhận dạng đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) - Toán lớp 12

---

Bài tập Nhận dạng đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng)

Với Bài tập Nhận dạng đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có lời giải (4 dạng) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Nhận dạng đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d

1. Tập xác định: D = R

2. Đạo hàm: y' = 3ax² + 2bx = c

Xét phương trình y' = 0 có Δ' = b² – 3ac

Nếu Δ' > 0: Hàm số có 2 cực trị.

Nếu Δ' < 0: Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên R.

3. Đạo hàm cấp 2: y'' = 6ax + 2b. Phương trình y'' = 0 khi x = -b/3a

Điểm x = -b/3a là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

Giới hạn:

Nếu a > 0 thì:

Nếu a < 0 thì:

4. Bảng biến thiên và đồ thị:

Trường hợp a > 0.

* Δ' = b² - 3ac > 0: Hàm số có 2 cực trị

* Δ' = b² - 3ac ≤ 0: Hàm số luôn tăng trên R.

Trường hợp a < 0 :

* Δ' = b² - 3ac > 0: Hàm số có 2 cực trị.

* Δ' = b² - 3ac ≤ 0 ⇒ y' ≤ 0, ∀x ∈ R: Hàm số luôn giảm trên R.

Một số tính chất của hàm số bậc ba

1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: Δ' = b² - 3ac > 0.

2. Hàm số luôn đồng biến trên R

3. Hàm số luôn nghịch biến trên

4. Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị ta làm như sau: lấy f(x) chia cho f'(x) ta được: f(x) = f'(x).g(x) + r(x). Tại hai điểm cực trị ta có: f'(x) = 0 nên ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = r(x)

5. Đồ thị luôn có điểm uốn I là tâm đối xứng của đồ thị. (hoành độ điểm I là nghiệm phương trình y' = 0 .

6. Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ hàm số có hai cực trị trái dấu nhau.

7. Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox.

8. Đồ thị cắt Ox tại một điểm ⇔ hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu.

9. Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn. Cho M thuộc (C).

* Nếu M = I thì ta có đúng một tiếp tuyến đi qua M và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất (nếu a > 0), lớn nhất (nếu a < 0).

* Nếu M khác I thì có đúng 2 tiếp tuyến đi qua M.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số: y = -x³ + 3x² - 4.

Lời giải:

1. Tập xác định: D = R.

2. Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Đạo hàm y' = -3x² + 6x. y' = 0 khi x = 0 hoặc x = 2

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) và (2; ∞)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; giá trị cực tiểu y_CT = -4.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2; giá trị cực đại y_CĐ = 0.

* Đồ thị cắt trục hoành tại (-1; 0) và (2; 0);

Cắt trục tung tại (0; -4).

* ta có: y'' = -6x + 6 = 0 khi x = 1.

Điểm uốn I(1; -2).

Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x³ - 9x² + 12x - 4 (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 6|x|³ - 9x² + 12|x| = m

Lời giải:

a. Tập xác định: D = R.

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Đạo hàm y' = 6x² – 18x + 12. Xét y' = 0 khi x = 1 hoặc x = 2

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (-∞; 1) và (2; +∞). Hàm số nghịch biến trên (1; 2) .

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu y_CT = 0.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại y_CĐ = 1.

Ta có y'' = 12x - 18 = 0 khi x = 3/2 ⇒ y = 1/2. Hàm số nhận điểm I(3/2; 1/2) làm điểm uốn.

+ Đồ thị :

b. Ta có: 2|x|³ - 9x² + 12|x| = m ⇔ 2|x|³ - 9x² + 12|x| - 4 = m - 4

Gọi (C): y = 2x³ - 9x² + 12x - 4 và (C'): 2|x|³ - 9x² + 12|x| - 4

Ta thấy khi x ≥ 0 thì: (C'): 2x³ - 9x² + 12x - 4

Mặt khác hàm số của đồ thị (C') là hàm số chẵn nên (C') nhận Oy là trục đối xứng . Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C') như sau:

• Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được

• Lấy đối xứng qua trục Oy phần , ta được

• (C') = (C'₁) ∪ (C'₂)

Số nghiệm của phương trình:

2|x|³ - 9x² + 12|x| - 4

⇔ 2|x|³ - 9x² + 12|x| - 4 = m - 4 là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng d: y = m - 4

Từ đồ thị (C'), ta thấy yêu cầu bài toán:

⇔ 0 < m - 4 < 1 hay 4 < m < 5.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x³ + mx² + 2 có đồ thị là (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = -3

b. Tùy theo k giải và biện luận phương trình: -|x|³ + 3x² + k = 0

c. Gọi A và B là hai điểm cực trị của (C), tìm điểm M trên (C) sao cho tam giác MAB cân tại M.

d. Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại điểm duy nhất.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có: y' = 3x² – 6x = 0 khi x = 0 hoặc x = 2.

Giới hạn:

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (2; +infin;) nghịch biến trên (0; 2) .

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 với giá trị cực đại của hàm số là y(0) = 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 với giá trị cực tiểu của hàm số là y(2) = -2.

* Đồ thị

Điểm uốn: y'' = 6x - 6 và y'' = 0 khi x = 1

Vậy I(1;0) là điểm uốn của đồ thị.

• Giao điểm của đồ thị với trục tọa độ

Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0;2)

Đồ thị cắt Ox tại ba điểm (1; 0), (1 ± √3; 0)

• Chọn x = 3 ⇒ y = 2; x = -1 ⇒ y = - 2.

Nhận xét: Đồ thị nhận I(1; 0) làm tâm đối xứng.

b. Ta có: -|x|³ + 3x² + k = 0 ⇔ |x|³ - 3x² + 2 = k - 2

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C’): y = |x|³ - 3x² + 2 và đường thẳng d: y = k - 2 nên số nghiệm của phương trình cho chính là số giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( C).

• Nếu k - 2 < -2 hay k < 0 thì d không cắt đồ thị (C') nên phương trình cho vô nghiệm.

⇒ d cắt (C’) tại hai điểm phân biệt nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt.

• k - 2 = 2 hay k = 4 thì d cắt (C') tại ba điểm phân biệt nên phương trình cho có ba nghiệm phân biệt.

• -2 < k - 2 < 2 hay 0 < k < 4 thì d cắt (C’) tại bốn điểm phân biệt nên phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt.

c. Giả sử A(0; 2) và B(2; -2) là hai điểm cực trị của (C)

Tam giác MAB cân tại M khi MA = MB và M, A, B không thẳng hàng.

Mà MA = MB khi M thuộc trung trực AB: x - 2y - 1 = 0

Tọa độ M thỏa nghiệm hệ phương trình:

⇒ (x - 1)(2x² - 4x - 5) = 0

Loại M(1;0) vì M; A; B thẳng hàng.

d. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục Ox:

x³ + mx + 2 = 0 ⇔ x² + 2/x = -m

Xét hàm số f(x) = x² + 2/x. Ta có: f'(x) = 2x - 2/x² và f'(x) = 0 khi x = 1

Lập bảng biến thiên suy ra –m < 3 hay m > -3 là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 4: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A. y = -x³ + 1. B. y = -x³ + 3x + 2.

C. y = -x³ + 3x² – 3x + 2. D. y = -x³ + 2.

Lời giải:

* Để ý thấy khi x = 0 thì y = 2 nên ta loại đáp án A.

* Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số không có cực trị nên ta loại đáp án B vì y' = -3x² + 3x có hai nghiệm.

* Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;1), kiểm tra thấy C và D đều thỏa mãn.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: -x³ + 3x² - 3x + 2 = 0 ⇒ x = 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm: -x³ + 2 = 0 ⇒ x = ³√2.

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 5: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a < 0; b > 0; c > 0; d < 0.

B. a > 0; b > 0; c > 0; d < 0.

C. a > 0; b < 0; c < 0; d > 0.

D. a > 0; b < 0; c > 0; d < 0

Lời giải:

Dựa vào dạng đồ thị ta có a > 0, d < 0

Hàm số không điểm cực trị trái dấu nên c > 0.

Đồ thị hàm số có điểm uốn có hoành độ dương nên -b/a > 0 nên b < 0

Suy ra chọn đáp án D.

Ví dụ 6: Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y = ax³ + bx² + cx + d. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ab < 0; bc < 0; cd < 0

B. ab < 0; bc > 0; cd > 0

C. ab < 0; bc > 0; cd < 0

D. ab > 0; bc > 0; cd < 0

Lời giải:

Dựa vào dạng đồ thị ta có a > 0; d > 0

Hàm số không điểm cực trị trái dấu nên c < 0.

Đồ thị hàm số có điểm uốn có hoành độ dương nên -b/a > 0 nên b < 0

Suy ra chọn đáp án C.

Dạng 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm trùng phương.

I. Phương pháp giải

Cho hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c

1. Tập xác định D = R.

2. Đạo hàm: y' = 4ax³ + 2bx = 2x(2ax² + b).

y' = 0 khi x = 0 hoặc

* Nếu ab ≥ 0 thì y có một cực trị x₀ = 0

* Nếu ab < 0 thì y có 3 cực trị x₀ = 0;

3. Đạo hàm cấp 2: y'' = -12ax² + 2b;

y'' = 0 khi

* Nếu ab ≥ 0 thì đồ thị không có điểm uốn.

* Nếu ab < 0 thì đồ thị có 2 điểm uốn.

4. Bảng biến thiên và đồ thị:

* a > 0; b < 0: Hàm số có 3 cực trị.

* a < 0; b > 0: Hàm số có 3 cực trị.

* a > 0; b ≥ 0: Hàm số có 1 cực trị.

* a < 0; b ≤ 0: Hàm số có 1 cực trị.

Tính chất:

* Đồ thị của hàm số y = ax⁴ + bx² + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng khi phương trình: aX² + bX + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa X₁ = 9X₂.

* Nếu đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có đỉnh nằm trên Oy.

* Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d' đối xứng với d qua Ox cũng là tiếp tuyến của đồ thị.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x⁴ - 2x² - 1 có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: x⁴ – 2x² - 1 = m (*)

Lời giải:

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị:

• Tập xác định: D = R.

• Chiều biến thiên:

Ta có: y' = 4x³ – 4x = 4x(x² - 1)

Phương trình y' = 0 có nghiệm x = 0 hoặc x = ±1

• Giới hạn của hàm số tại vô cực:

• Bảng biến thiên :

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1), đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; ∞).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0; giá trị cực đại của hàm số là y(0) = -1.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = ±1; giá trị cực tiểu của hàm số là y(±1) = -2

b. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: x⁴ – 2x² - 1 = m (*)

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và d: y = m.

Dựa vào đồ thị, ta thấy :

+ Khi m < -2 thì (*) vô nghiệm.

+ Khi thì (*) có 2 nghiệm.

+ Khi -2 < m < -1 thì (*) có 4 nghiệm.

+ Khi m = -1 thì (*) có 3 nghiệm.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = 1/2.x⁴ - mx² + 3/2 có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.

b. Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại.

Lời giải:

a. Khi m = 3 thì hàm số là: y = 1/2.x⁴ - 3x² + 3/2

• Tập xác định: D = R

• Chiều biến thiên :

• Bảng biến thiên :

+ Ta có: y’= 2x3 – 6x

y' = 0 ⇔ 2x(x² - 3) = 0

• Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-√3; 0) và (-√3; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-∞; -√3) và (0; √3).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0; giá trị cực đại của hàm số là y(0) = 3/2.

Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = ±√3; giá trị cực tiểu của hàm số là y(±√3) = -3.

* Đồ thị :

• Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn, nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng .

• Đồ thị (hình vẽ):

b. Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y' = 2x³ – 2mx

y' = 0 khi x = 0 hoặc x² = m (*)

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại khi và chỉ khi y' = 0 có một nghiệm duy nhất và y' đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó

⇔ Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0 ⇔ m ≤ 0.

Vậy giá trị cần tìm là: m ≤ 0.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x⁴ – 2(m + 1).x² + m có đồ thị (C).

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1;

b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Lời giải:

a. Hàm số y = x⁴ – 2(m + 1)x² + m

• Tập xác định D = R.

• Sự biến thiên :

Chiều biến thiên: y' = 4x³ – 8x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±√2

Giới hạn:

• Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -√2) và (0; √2); đồng biến trên các khoảng (-√2; 0) và (√2; +∞).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±√2; y_CT = -3, đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ = 1

- Đồ thị:

b. Xét y = x⁴ – 2(m + 1)x² + m (Cm)

⇒ y' = 4x³ – 4(m + 1)x

* Đồ thị của hàm số (Cm) có ba cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có ba nghiệm phân biệt.

* Ta có: y' = 0 ⇔ 4x[x² – m – 1] = 0 ⇔ x = 0 hoặc x² = m + 1

* Vì thế để thỏa mãn điều kiện trên thì phương trình x² = m + 1 cần có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi: m + 1 > 0 ⇔ m > -1 (1)

* Kết luận thỏa mãn (1), (Cm) có ba cực trị tại các điểm A(0, m)

Lúc đó: OA = OB ⇔ OA² = BC² (do OA > 0; BC > 0)

⇔ m² = 4(m + 1) ⇔ m² – 4m – 4 = 0 ⇔ m = 2 ± √2

Ví dụ 4: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A. y = -x⁴ + 2x² + 2.

B. y = x⁴ - 2x² + 2.

C. y = x⁴ - 4x² + 2.

D. y = x⁴ - 2x² +3.

Lời giải:

Hình dáng đồ thị thể hiện a > 0 ⇒ loại đáp án A.

Để ý thấy khi x = 0 thì y = 2 nên ta loại đáp án D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;1) nên chỉ có B thỏa mãn.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 5: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

A. y = -x⁴ - 2x² + 3.

B. y = -x⁴ - 2x² - 3.

C. y = -x⁴ + 2x² + 3.

D. y = x⁴ + 2x² + 3.

Lời giải:

Hình dáng đồ thị thể hiện a < 0 nên loại D.

Dựa vào đồ thị thấy khi x = 0 thì y = 3 nên loại B.

Hàm số có một cực trị nên a; b cùng dấu.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Hàm số ax⁴ + bx² + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a > 0; b > 0; c < 0

B. a > 0; b < 0; c < 0

C. a > 0; b < 0; c > 0

D. a < 0; b > 0; c < 0

Lời giải:

Đồ thị hàm số thể hiện a > 0 .

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên ab < 0. Mà a > 0 nên b < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên c > 0 .

Vậy a > 0; b < 0; c > 0.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 7: Hàm số y = ax⁴ + bx² + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a > 0; b > 0; c > 0

B. a < 0; b > 0 ; c < 0

C. a < 0; b < 0; c > 0

D. a < 0; b < 0; c < 0

Lời giải:

Đồ thị hàm số thể hiện a < 0.

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên ab < 0 mà a < 0 nên b > 0.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c < 0.

Vậy a < 0; b > 0; c < 0.

Suy ra chọn đáp án B.

Dạng 3. Cách nhận dạng đồ thị hàm số phân thức.

I. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hàm số có đồ thị là hình vẽ nào sau đây? Hãy chọn câu trả lời đúng?

Lời giải:

[Phương pháp tự luận]

Hàm số có tiệm cận đứng x = 1. Tiệm cận ngang y = 1 nên loại trường hợp D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;2) nên chọn đáp án A.

[Phương pháp trắc nghiệm]

suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định, loại B, D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;2) nên chọn đáp án A.

Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

• Chỉ quan tâm chiều biến thiên mà quên đi các yêu tố: điểm đi qua, tiệm cận và ngược lại.

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Lời giải:

[Phương pháp tự luận]

Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng nên loại đáp án A, C.

Hàm số có ad - bc = 1 > 0 nên loại đáp án D.

Hàm số có ad - bc = -3 < 0 nên chọn đáp án B.

[Phương pháp trắc nghiệm]

Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng nên loại đáp án A, C.

suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định, loại D.

Phân tích các sai lầm dễ mắc phải của học sinh

• Chỉ quan tâm chiều biến thiên mà quên đi các yêu tố: điểm đi qua, tiệm cận và ngược lại.

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Xác định a, b để hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?

A. a = 1, b = -1. B. a = 1, b = 1.

C. a = -1, b = 1. D. a = -1, b = -1.

Lời giải:

Giải theo phương pháp tự luận

Dựa vào đồ thị, ta có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 1 (1)

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -b, tiệm cận ngang y = a (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a = 1, b = 1

Giải theo pp trắc nghiệm

Dựa vào hình dáng và các điểm đi qua của đồ thị hàm số, HS có thể kiểm tra từng phương án (hẳn nhiên cách này mất thời gian, chỉ phù hợp HS yếu).

Suy ra chọn đáp án B.

Ví dụ 4: Xác định a, b, c để hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?

A. a = 2, b = -1, c = 1. B. a = 2, b = 1, c = 1.

C. a = 2, b = 2, c = -1. D. a = 2, b = 1, c = 1.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị, ta có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2 và đồ thị đi qua điểm (0;1) (1). Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -b, tiệm cận ngang y = a và đi qua điểm (0; -1/b)(2). Từ (1) và (2) suy ra: a = 2, b = 1, c = -1

Suy ra chọn đáp án D.

Dạng 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức.

I. Phương pháp giải

1. Cho hàm số:

* Tập xác định:

* Đạo hàm:

Đặt m = ad - bc, ta có:

* Nếu m > 0 thì hàm số tăng trên từng khoảng xác định.

* Nếu m < 0 thì hàm số giảm trên từng khoảng xác định.

* Các đường tiệm cận: x = -d/c là tiệm cận đứng và y = a/c là tiệm cận ngang.

Bảng biến thiên và đồ thị :

* m > 0

* m < 0 :

* Đồ thị của hàm số nhất biến gọi là một hypebol vuông góc có tâm đối xứng I(-d/c; a/c), là giao điểm của 2 đường tiệm cận.

2. Cho hàm số

Thực hiện phép chia đa thức ta được:

* Tập xác định:

* Đạo hàm:

* Nếu thì hàm số không có cực trị, hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định.

* Nếu thì hàm số có 2 cực trị.

* Các đường tiệm cận: Tiệm cận đứng: x = -β/α và tiệm cận xiên: y = Ax + B.

Bảng biến thiên

* A > 0, ACα > 0: Hàm số có 2 cực trị

* A > 0; Cα < 0: Hàm số không có cực trị

* A < 0; Cα < 0: Hàm số có 2 cực trị.

* A < 0; ACα < 0: Hàm số không có cực trị.

Một số tính chất của hàm số hữu tỉ bậc 2 trên bậc 1.

Giả sử với g(x) là một tam thức bậc 2 có biệt số Δ.

1. Hàm số có cực đại và cực tiểu khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -β/α

2. Các cực trị là:

với x₁; x₂ là 2 nghiệm của y' = 0.

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình:

3. Điều kiện để 2 cực trị trái dấu là: g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -β/α và ax² + bx + c = 0 vô nghiệm.

4. Giả sử M là điểm thuộc đồ thị hàm số. Nếu tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B thì ta có :

* M là trung điểm của AB và S_ΔIAB không đổi (I là giao điểm 2 đường tiệm cận, cũng là tâm đối xứng của đồ thị).

* Tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là 1 hằng số.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số trong đó m là tham số thực.

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1.

b. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 1)

Lời giải:

a. Khi m = 1 thì hàm số là

• Tập xác định: D = R\{-1}

• Chiều biến thiên:

+ Ta có :

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

• Giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận:

+ Ta có:

do đó đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho .

+ Ta có:

nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

• Bảng biến thiên:

* Đồ thị: (hình vẽ)

• y = 0 ⇒ x = -4; x = 0 thì y = 4 tức là đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm (-4; 0), cắt trục tung tại (0;4)

• Đồ thị của hàm số nhận giao điểm I(-1;1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng .

b. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 1)

Tập xác định: D = R\{-m}

Đạo hàm

Yêu cầu bài toán y' < 0 với mọi x < 1

⇔ -2 < m < -1

Vậy giá trị cần tìm là: -2 < m < -1.

Ví dụ 2: Cho hàm số gọi đồ thị của hàm số là ( C )

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số;

b. Tìm m để đường thẳng (d): y= -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt.

Lời giải:

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

• Tập xác định: D = R\{1}

• Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

• Cực trị: Hàm số không có cực trị.

• Giới hạn:

Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, và một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2.

* Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Đồ thị cắt trục tung tại A(0;-1),cắt trục hoành tại B(-1/2; 0).

Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1;2) làm tâm đối xứng .

b. Đường thẳng d: y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

⇔ x² – (m - 2)x + m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Vậy với m < 0 hoặc m > 8 thì đường thẳng (d) cắt đồ thì ( C ) tại hai điểm phẩn biệt.

Ví dụ 3: Cho hàm số gọi đồ thị của hàm số là (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ;

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0; 5/4) và tiếp xúc với đồ thị.

Lời giải:

a. Tập xác định D = R \ {-1}

• Sự biến thiên:

Giới hạn và tiệm cận:

Nên x = –1 là tiệm cận đứng.

Ta có:

⇒ y = –x + 2 là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị nhận điểm I(–1; 3) làm tâm đối xứng cắt trục Oy tại (0; 1)

Cắt trục Ox tại .

b. Gọi (d) là đường thẳng y = kx + 5/4.

Để (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x₀ khi hệ:

Thế k từ (2) vào (1):

• Tại x₀ = 1 ⇔ k = -3/4

Có tiếp tuyến (T₁):

• Tại x₀ = -1/3 ⇔ k = 5/4

Có tiếp tuyến (T₂):

Ví dụ 4: Cho hàm số gọi đồ thị của hàm số là (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ;

2. Dựa vào đồ thị của hàm số ở câu 1. Vẽ đồ thị của hàm số và từ đồ thị của hàm số này, biện luận về số nghiệm của phương trình theo các giá trị của tham số a.

Lời giải:

1. Ta có:

- Tập xác định D = R\{-1}

- Sự biến thiên: với mọi x thuộc D: hàm số luôn luôn đồng biến trên D, không có cực đại và cực tiểu.

- Giới hạn và tiệm cận:

⇒ x = –1 là tiệm cận đứng.

- lại có:

⇒ y = x + 1 là tiệm cận xiên.

• Bảng biến thiên:

Đồ thị nhận điểm I(–1; 0) làm tâm đối xứng; cắt trục Oy tại (0;–1), cắt trục Ox tại (-1 - √2; 0); (-1 + √2; 0)

2. Ta có là một hàm số chẵn (do f(–x) = f(x)) nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ Vẽ phần đồ thị của (1) ứng với x ≥ 0.

+ Lấy đối xứng của phần đồ thị trên qua trục Oy sẽ được đồ thị của hàm số

* Số giao điểm của đường thẳng y = a và đồ thị này là số nghiệm của phương trình:

Xét qua 3 vị trí của đường thẳng y = a:

(1): a < –1: vô nghiệm;

(2): a = –1: một nghiệm x = 0;

(3): a > –1: thỏa nghiệm.

Ví dụ 5: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

Lời giải:

Các chi tiết đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1/2 và tiệm cận ngang y = 1/2 đều giống nhau. Chỉ có chi tiết đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ là phù hợp cho đáp án C.

Suy ra chọn đáp án C.

Ví dụ 6: Hàm số với a > 0 có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. b > 0; c > 0; d < 0

B. b > 0; c < 0; d < 0

C. b < 0; c < 0; d < 0

D. b < 0; c > 0; d < 0

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số, ta thấy

• Khi y = 0 thì x = -b/a < 0. Mà a > 0 nên b > 0.

• Khi x = 0 thì y = b/d < 0 mà b > 0 nên d < 0.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng mà d < 0 nên c > 0.

Vậy b > 0; c > 0; d < 0

Suy ra chọn đáp án A.

Ví dụ 7: Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. y' < 0, ∀x ≠ 1

B. y' < 0, ∀x ≠ 2

C. y' > 0, ∀x ≠ 1

D. y' > 0, ∀x ≠ 2

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định và đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số suy ra y' < 0, ∀x ≠ 2.

Suy ra chọn đáp án B.